Distanza tra due rette parallele

In questa pagina troverai come determinare la distanza tra due linee parallele. Inoltre, potrai vedere esempi ed esercitarti con esercizi risolti di distanze tra linee parallele.

Cosa sono due rette parallele?

Prima di vedere come si calcola la distanza tra due rette parallele, ricordiamo molto brevemente la nozione di parallelismo tra due rette:

Le rette parallele sono quelle che non si incrociano mai, vale a dire che, anche se le loro traiettorie si prolungano all’infinito, non si toccano mai. Pertanto i punti di due rette parallele sono sempre alla stessa distanza l’uno dall’altro e, inoltre, due rette parallele non hanno punti in comune.

Ad esempio, le seguenti due rette sono parallele:

Generalmente indichiamo che due linee sono parallele a 2 barre verticali || tra le linee

D’altra parte, nonostante due linee parallele non si intersechino mai, in geometria analitica diciamo che formano un angolo di 0º poiché hanno la stessa direzione.

Come calcolare la distanza tra due rette parallele nel piano

Per trovare la distanza tra due linee parallele nel piano (in R2), basta prendere un punto su una delle due linee e calcolare la distanza da questo punto all’altra linea.

Possiamo farlo in questo modo perché due linee parallele sono sempre alla stessa distanza.

Quindi, per trovare la distanza tra due linee parallele, devi conoscere la formula per la distanza tra un punto e una linea . Se non ricordi com’era, nel link puoi rivedere come viene determinata la distanza tra un punto e una linea, inoltre potrai vedere esempi ed esercizi risolti passo dopo passo.

D’altra parte, se utilizzando la formula otteniamo una distanza di 0 unità, ciò significa che le linee si toccano in un punto e, quindi, le linee non sono parallele, ma si intersecano, coincidenti o perpendicolari. Se vuoi, puoi verificare le differenze tra questo tipo di linee sul nostro sito.

Esempio di come trovare la distanza tra due linee parallele

Vediamo ora come risolvere un problema di distanza tra due rette parallele utilizzando un esempio:

Trova la distanza tra le seguenti due rette parallele:

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

La prima cosa che dobbiamo fare è ottenere un punto su una delle linee (quella che desideri). In questo caso, calcoleremo un punto sulla linea

$s.$

Per fare ciò, dobbiamo dare un valore a una delle variabili, faremo ad esempio

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

E ora cancelliamo l’altra variabile (

$y$

) dell’equazione ottenuta per sapere quanto vale a questo punto:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

Pertanto il punto ottenuto dalla retta

$s$

Est:

$P(0,-2)$

E una volta che abbiamo già un punto su una linea, calcoliamo la distanza da quel punto all’altra linea utilizzando la formula per la distanza da un punto a una linea:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

La distanza tra le due linee parallele equivale quindi a 0,45 unità .

Risoluzione dei problemi di distanza tra due rette parallele

Esercizio 1

Qual è la distanza tra le seguenti due rette parallele?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

vedi soluzione

Per prima cosa verificheremo che si tratti di due rette parallele. Per questo, i coefficienti delle variabili

$x$

$y$

devono essere proporzionali tra loro ma non ai termini indipendenti:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

In effetti le rette sono parallele, possiamo quindi applicare il procedimento.

Ora dobbiamo ottenere un punto da una delle linee (quella che desideri). In questo caso, calcoleremo un punto sulla linea

$s.$

Per fare ciò, è necessario assegnare un valore a una delle variabili, ad esempio faremo

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

E ora cancelliamo l’altra variabile (

$y$

) dell’equazione ottenuta per conoscerne il valore a questo punto:

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

In modo che il punto ottenuto dalla linea

$s$

Est:

$P(0,-1)$

Una volta conosciuto un punto su una linea, calcoliamo la distanza da quel punto all’altra linea con la formula:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

Esercizio 2

Calcola la distanza tra le seguenti due rette parallele:

$r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0$

vedi soluzione

Per prima cosa verificheremo che si tratti di due rette parallele. Per questo, i coefficienti delle variabili

$x$

$y$

devono essere proporzionali tra loro ma non ai termini indipendenti:

$\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

In effetti le rette sono parallele, possiamo quindi applicare il procedimento.

Ora dobbiamo ottenere un punto da una delle linee (quella che desideri). In questo caso, calcoleremo un punto sulla linea

$s.$

Per fare ciò, devi dare un valore a una delle variabili, ad esempio faremo

$x=0:$

$8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0$

E ora cancelliamo l’altra variabile (

$y$

) dell’equazione risultante per trovarne il valore a questo punto:

$4y=4$

$y= \cfrac{4}{4}$

$y= 1$

In modo che il punto ottenuto dalla linea

$s$

Est:

$P(0,1)$

Una volta conosciuto un punto su una linea, calcoliamo la distanza da quel punto all’altra linea con la formula:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}$

Esercizio 3

Calcolare il valore dell’incognita

$k$

quindi la distanza tra le due linee successive è 5 unità.

$r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0$

vedi soluzione

Poiché stiamo lavorando in due dimensioni, affinché la distanza tra le due linee sia diversa da zero, devono essere parallele. Stabiliremo quindi l’equazione provando a calcolare la distanza tra le due linee con la formula della distanza tra un punto e una linea, e da questa equazione otterremo il valore di

$k.$

Per fare questo dobbiamo calcolare un punto sulla retta

$r:$

$6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0$

$6-8y+10=0$

$-8y=-16$

$y=\cfrac{-16}{-8} = 2$

Quindi un punto sulla linea

$r$

Est:

$P(1,2)$

Ora proviamo a calcolare la distanza tra il punto che appartiene alla linea

$r$

(punto

$P$

) e la linea

$s$

con la formula:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

Sostituiamo ogni termine con il suo valore e semplifichiamo l’espressione:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}$

La formulazione del problema ci dice che la distanza tra le due linee deve essere uguale a 5, quindi uguagliamo l’espressione precedente a 5:

$\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}=5$

E risolviamo l’equazione risultante. Al numeratore della frazione c’è un valore assoluto, quindi dobbiamo analizzare separatamente quando il valore assoluto è positivo e quando è negativo:

$\cfrac{+(5+k)}{5}=5$