In questa pagina troverai il significato di un vettore normalizzato e come viene normalizzato qualsiasi vettore con diversi esempi, sia in 2 che in 3 dimensioni. Inoltre troverai le utilità per normalizzare un vettore.
Cosa significa normalizzare un vettore?
Normalizzare un vettore significa trasformarlo in un vettore con la stessa direzione e la stessa direzione ma con modulo pari a 1. In altre parole, il processo di normalizzazione di un vettore prevede di modificarne la lunghezza mantenendo la sua direzione e il suo verso.
Pertanto, un vettore normalizzato viene utilizzato principalmente per indicare direzione e significato.
D’altra parte, quando normalizzi un vettore, calcoli contemporaneamente anche un vettore unitario , perché un vettore unitario è qualsiasi vettore la cui grandezza è 1.
Formula per normalizzare un vettore
Per normalizzare un vettore, ciascuna delle componenti del vettore deve essere divisa per il suo modulo:
Oro
è il vettore normalizzato di
Esempio di normalizzazione di un vettore in R2
Ad esempio, normalizzeremo il seguente vettore bidimensionale:
Dobbiamo prima calcolare il modulo (o ampiezza) del vettore. Nel caso non ricordi come farlo, puoi controllare la formula per la grandezza di un vettore qui. Usiamo quindi questa formula:
E poi dividiamo il vettore per il suo modulo per ottenere il vettore normalizzato:
Normalmente quando un vettore viene normalizzato rimane come una frazione, ma puoi passarlo ai decimali senza problemi.
Esempio di normalizzazione di un vettore in R3
Quindi puoi vedere un altro esempio, normalizzeremo il seguente vettore tridimensionale:
Per prima cosa calcoliamo il modulo del vettore:
E, infine, dividiamo il vettore per il suo modulo per normalizzarlo:
Qual è lo scopo di normalizzare un vettore?
Vedere le applicazioni della normalizzazione dei vettori non è facile, può anche sembrare che un vettore normalizzato sia peggiore di un vettore “normale”, perché spesso hanno frazioni ed è più difficile lavorare con le frazioni.
Tuttavia, alcune operazioni sui vettori risultano notevolmente semplificate se vengono utilizzati vettori normalizzati. Ad esempio, trovare l’angolo tra due vettori è più semplice se entrambi hanno modulo (o modulo) uguale a uno. Inoltre l’angolo formato da due vettori non dipende dalla loro lunghezza ma dalla loro direzione, quindi è perfettamente possibile normalizzare prima i due vettori e poi trovare l’angolo che formano.
Se sei più interessato a come viene calcolato l’angolo tra due vettori e perché è più semplice farlo con vettori normalizzati, puoi consultare la pagina dell’angolo tra due vettori . Qui troverai tutte le spiegazioni, oltre ad esempi ed esercizi svolti.
Questa caratteristica dei vettori normalizzati è molto utile a livello computazionale. Poiché il tempo risparmiato per eseguire una singola operazione vettoriale è davvero basso. Ma se si devono eseguire decine di migliaia di operazioni, come può accadere con un computer, il risparmio di tempo è notevole.
Infine, le basi vettoriali comunemente usate sono le basi ortonormali, perché con esse è più facile esprimere le coordinate di un vettore e, inoltre, facilitano molti calcoli con matrici in algebra lineare. Bene, tutti i vettori di questo tipo di basi sono vettori normalizzati. Ad esempio, il sistema di coordinate cartesiane è una base ortonormale.
In conclusione, i vettori normalizzati non sono strettamente necessari poiché tutte le operazioni tra vettori potrebbero essere eseguite senza di essi, ma facilitano notevolmente i calcoli.