In questa pagina spieghiamo cos’è un sistema di coordinate e, inoltre, troverai tutto sul sistema di coordinate cartesiane. Vedrai anche altri tipi di sistemi di coordinate (polari, cilindrici, sferici, ecc.) e applicazioni reali di un sistema di coordinate.
Cos’è un sistema di coordinate?
Sebbene all’inizio sia un po’ difficile comprendere questo concetto, la definizione di sistema di coordinate è:
Un sistema di coordinate è un sistema che ci permette di identificare la posizione di un punto. Cioè, è un insieme di valori utilizzati per definire la posizione di qualsiasi oggetto geometrico.
Ad esempio, la posizione in cui vola l’aereo che segue può essere descritta da un sistema di coordinate:
In questo caso l’aereo è nel punto (5.3). Perché la sua coordinata X è 5 e la sua coordinata Y è 3.
D’altra parte, il punto (0,0) è chiamato origine delle coordinate , perché è dove iniziano gli assi delle coordinate ed è il punto di riferimento del sistema di coordinate.
Per curiosità, si ritiene che il matematico che ha inventato il sistema di coordinate sia stato il francese René Descartes. Ed è per questo che è chiamato anche sistema di coordinate cartesiane.
Sistema di coordinate cartesiane nel piano
Il grafico che abbiamo visto nella sezione precedente appartiene al sistema di coordinate cartesiane nel piano. Diciamo che è nel piano perché è un sistema bidimensionale, vale a dire che ha solo due assi: l’asse X e l’asse Y.
L’asse X corrisponde alle coordinate orizzontali, mentre l’asse Y rappresenta le coordinate verticali. Di seguito potete vedere diversi punti rappresentati graficamente con le relative coordinate:
Come puoi vedere nel grafico, le coordinate sono rappresentate numericamente tra parentesi, inoltre viene messa prima la componente X e poi la componente Y: (4,3). Inoltre, le coordinate possono essere positive, negative o zero.
D’altra parte, questo tipo di sistema di coordinate è anche chiamato piano cartesiano.
Infine, dovresti sapere che gli assi coordinati possono essere detti in diversi modi, sebbene significhino tutti la stessa cosa:
- L’asse X è anche chiamato asse delle ascisse o asse OX.
- L’asse Y è anche chiamato asse y o asse OY.
Sistema di coordinate cartesiane nello spazio
Abbiamo appena visto come rappresentare un punto nel piano, cioè in un sistema di coordinate a due assi (2 dimensioni). Tuttavia, la realtà è composta da 3 dimensioni (altezza, larghezza e profondità).
Pertanto, nella geometria euclidea, lo spazio tridimensionale è generalmente rappresentato da un sistema di coordinate con tre assi, tutti perpendicolari tra loro:
- L’asse X rappresenta la profondità.
- L’asse Y indica la larghezza.
- L’asse Z corrisponde all’altezza.
Come puoi vedere nella rappresentazione grafica precedente, le coordinate di un qualsiasi punto sono date dalle proiezioni sugli assi delle distanze tra il punto in questione e l’origine (0,0,0).
sistema di coordinate polari
I sistemi di coordinate cartesiane, 2D o 3D, sono i più utilizzati. Ma in alcune occasioni potrebbe essere conveniente per noi utilizzare un altro tipo di sistema di coordinate.
Il sistema di coordinate polari è un sistema di riferimento bidimensionale le cui coordinate sono:
-
è la distanza tra l’origine delle coordinate e il punto. Questa è chiamata coordinata radiale.
-
è l’angolo che forma l’asse X con la retta passante per il punto e l’origine. Questa è chiamata coordinata angolare o azimutale.
Puoi passare facilmente dal sistema di coordinate rettangolari al sistema di coordinate polari utilizzando le seguenti equazioni:
Convertire le coordinate polari in coordinate cartesiane
Passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari
Sistema di coordinate cilindriche
Il sistema di coordinate cilindriche è molto simile al sistema di coordinate polari. In effetti è la stessa cosa ma con una coordinata in più: l’altezza.
La cornice cilindrica è quindi una cornice tridimensionale, vale a dire con 3 coordinate:
-
è la proiezione ortogonale del punto nel piano XY, o in altre parole, la distanza del punto dall’asse Z.
-
è l’angolo formato dal semiasse positivo
-
è l’altezza del punto, è la stessa coordinata del sistema di coordinate cartesiane nello spazio.
Le seguenti formule vengono utilizzate per trasformare il sistema di coordinate cartesiane in coordinate cilindriche:
Convertire le coordinate cilindriche in coordinate cartesiane
Convertire le coordinate cartesiane in coordinate cilindriche
Sistema di coordinate sferiche
Infine abbiamo il sistema di coordinate sferiche. Anche questo tipo di sistema di coordinate è abbastanza simile alle coordinate polari e alle coordinate cilindriche, anche se ovviamente presenta alcune differenze da esse.
Il sistema di coordinate sferiche è un sistema per descrivere spazi euclidei tridimensionali, pertanto ha tre coordinate:
-
è la distanza (in R3) dall’origine al punto.
-
è l’angolo che la parte positiva dell’asse X forma con la linea
proiettato sul piano XY.
-
è l’angolo tra la parte positiva dell’asse Z e la linea
Puoi passare dalle coordinate sferiche a quelle cartesiane utilizzando le seguenti formule:
Conversione di coordinate sferiche in coordinate cartesiane
Conversione delle coordinate cartesiane in coordinate sferiche
Applicazioni reali del sistema di coordinate
I sistemi di coordinate sono così importanti in matematica perché vengono utilizzati anche nella vita reale. Ad esempio, sono utili per localizzare oggetti, persone o anche luoghi su una mappa. In effetti, il GPS esiste grazie ai sistemi di coordinate, poiché è ciò che usano per conoscere la tua posizione sulla Terra.
Più precisamente, le coordinate geografiche GPS sono composte da due elementi: latitudine e longitudine. La latitudine (nord o sud) e la longitudine (est o ovest) sono due coordinate angolari che misurano l’angolo tra il centro della Terra e la tua posizione. Entrambi sono espressi in gradi, sia in coordinate decimali che sessagesimali.