Potenze dei numeri complessi

Risolvere le potenze dei numeri complessi è una cosa abbastanza semplice da fare, se si conosce il metodo giusto. Pertanto, in questo articolo spiegheremo come risolvere le potenze complesse in tre modi: per i numeri complessi in forma binomiale, in forma polare e in forma trigonometrica.

Come risolvere la potenza di un numero complesso?

Come abbiamo detto nell’introduzione, quando si opera con poteri complessi si possono verificare tre situazioni. Il primo e più semplice è quando ci viene dato il numero in forma polare . Il secondo è quando ci viene dato il numero in forma binomiale e il terzo è quando ci viene dato il numero in forma trigonometrica.

In altre parole, quando si opera con complessi in forma polare, l’esercizio può essere risolto più rapidamente. Pertanto, si consiglia di convertire il numero in questione in forma polare. Ma in realtà, tutti i metodi sono facili da risolvere . Detto questo, ti spiegheremo come si risolvono tutti i casi e ti proporremo un esercizio.

Potenze dei numeri complessi in forma polare

Quando vogliamo risolvere potenze complesse in forma polare , eleviamo semplicemente il modulo a qualsiasi e moltiplichiamo l’argomento per n. Espressa matematicamente, otteniamo la seguente formula:

Ecco alcuni esempi, così puoi provare a risolverli da solo:

Esercizi sulle potenze dei numeri complessi

Il procedimento è molto semplice, perché basta applicare le formule che abbiamo commentato sopra ed il risultato è già uscito.

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Potenze dei numeri complessi in forma binomiale

Quando invece vogliamo risolvere potenze complesse in forma binomiale possiamo utilizzare due metodi diversi. La prima si occupa di risolvere la potenza in modo “algebrico” (risolvendo come se fossi una variabile). E il secondo sistema consiste nel convertire la forma binomiale in polare e quindi seguire la procedura precedente.

Se non sai come passare dalla forma binomiale a quella polare, te lo spieghiamo molto chiaramente nel nostro articolo sui numeri complessi . Anche se ora lo vedremo rapidamente con un esempio.

Prova a risolvere la seguente potenza complessa: (2 + 3i) ² .

Per prima cosa vedremo come si risolve l’operazione con il “metodo algebrico”.

In questo caso specifico possiamo applicare un prodotto notevole : (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² .

(2 + 3i) ² = 2 ² + 2 2 3i + 3i ²

Quindi operiamo e semplifichiamo.

= 4 – 9 + 12i = -5 + 12i

In secondo luogo, possiamo utilizzare il secondo metodo. Iniziamo quindi esprimendo il numero in forma polare:

Quindi operiamo secondo le formule che abbiamo commentato all’inizio.

E alla fine otteniamo lo stesso risultato, solo in forma polare. Se non pensi che sia lo stesso numero, puoi provare a convertirlo tu stesso. Naturalmente bisogna tenere presente che l’argomento del risultato in forma binomiale che abbiamo ottenuto si trova nel secondo quadrante . Dobbiamo quindi aggiungere π all’angolo.

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Potenze dei numeri complessi in forma trigonometrica

Infine, quando vogliamo risolvere potenze complesse in forma trigonometrica , dobbiamo utilizzare la nota formula di de Moivre. Che è scritto così: