In questo articolo troverai una spiegazione molto dettagliata sulle funzioni polinomiali , integrata da esempi. Inoltre, potrai vedere come vengono utilizzate le funzioni polinomiali nella vita di tutti i giorni grazie agli esercizi che ti presenteremo alla fine.
Cos’è una funzione polinomiale?
Le funzioni polinomiali o funzioni polinomiali sono funzioni date da un’espressione algebrica equivalente a un polinomio . Ciò significa che l’espressione deve seguire la struttura di un polinomio: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n , a seconda della struttura di cui andremo determinare il tipo di funzione polinomiale che elaboreremo. Un’altra caratteristica molto rilevante di queste funzioni è che tutti i loro esponenti delle incognite sono positivi e interi .
Parti di una funzione polinomiale
Possiamo evidenziare tre elementi importanti riguardo a queste funzioni:
- Coefficienti polinomiali: sono i numeri che accompagnano le incognite, ad esempio il 3 del termine seguente è un coefficiente: 3x 2 . Va notato che ci sono tanti coefficienti quanti sono i termini del polinomio.
- Esponenti o indici del polinomio: queste sono le potenze delle incognite, ad esempio il 2 del termine seguente è un esponente: 3x 2 . E come abbiamo già spiegato, nel caso di una funzione polinomiale, saranno sempre positivi e interi.
- Grado del polinomio: questo valore equivale all’esponente di grado più alto tra tutti i termini che compongono il polinomio. Nel caso del polinomio f(x) = 3x 2 – 4x + 2 il grado è pari a due.
Come fai a sapere se una funzione è polinomiale o no?
Per identificare una funzione polinomiale dobbiamo vedere se soddisfa le caratteristiche di cui abbiamo appena parlato. Inizieremo verificando se l’espressione che definisce la funzione ha una struttura polinomiale : f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + … + a n x n . E poi, controlleremo che gli indici siano positivi e interi, con questi semplici passaggi potremo determinare se una funzione è polinomiale oppure no.
Tipi di funzioni polinomiali con esempi
Successivamente ti mostreremo i diversi tipi di funzioni polinomiali esistenti, classificate in base al grado del polinomio. Inoltre, troverai una rappresentazione grafica di esempio per ciascuna tipologia. Grazie a questi esempi di funzioni polinomiali potrai vedere meglio le differenze tra le diverse categorie.
funzioni costanti
Le funzioni costanti equivalgono a un polinomio di grado 0, ciò significa che il coefficiente di x è 0. Ecco perché funzioni di questo tipo non dipendono dal valore della variabile indipendente x. Pertanto, la sua rappresentazione grafica è una linea orizzontale, che è infinita. Di seguito potete trovare rappresentato l’esempio f(x) = 3:
funzioni polinomiali di primo grado
In secondo luogo troviamo le funzioni polinomiali di primo grado , che sono date da un polinomio di grado 1 con la seguente struttura: f(x) = mx + n. Questa espressione è composta da un numero chiamato pendenza (m) che moltiplica la variabile xy per una costante (n) che viene aggiunta a questo prodotto. Quindi, in base ai valori di m e n, possiamo identificare tre diversi tipi di funzioni:
- Funzioni affini: questo sottotipo è caratterizzato dall’avere un valore di n diverso da 0, cioè il valore del computer è diverso da 0. Pertanto questo tipo di funzioni non passa per il punto (0, 0), chiamato anche l’origine. Commenta anche che se m < 0 la funzione sarà decrescente, mentre se m > 0 la funzione sarà crescente.
- Funzioni lineari: l’unica distinzione che queste funzioni hanno dalle funzioni affini è che n = 0, quindi non hanno computer. Pertanto, l’espressione per le funzioni lineari è equivalente a f(x) = mx. Questa tipologia è abbastanza semplice da rappresentare, poiché passa sempre per il punto (0, 0) e dalla pendenza si ottiene già il grafico.
- Funzioni identità: quest’ultima tipologia è un sottogruppo di funzioni lineari, di cui an = 0 e m = 1. Ciò significa che l’espressione rimane f(x) = x, con la quale la rappresentazione grafica è una diagonale che forma con uno degli assi. Questo tipo di funzione passa anche per il punto di origine (0, 0).
Di seguito trovi un esempio di funzione polinomiale di primo grado, più precisamente una funzione affine f(x) = 3x + 2:
funzioni quadratiche
Le funzioni quadratiche o funzioni quadratiche si esprimono mediante polinomi quadratici, che seguono la struttura: f(x) = ax 2 + bx + c, dove a è diverso da 0. In questo caso la rappresentazione grafica è molto più complessa, poiché è non più una linea retta, ma una parabola verticale . Di seguito puoi trovare la rappresentazione della funzione quadratica f(x) = 2x 2 + 4x – 1:
funzioni cubiche
Le funzioni cubiche o funzioni di terzo grado sono date da un polinomio di grado tre: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, essendo diverso da 0. La rappresentazione di una funzione di questo stile è ancora più complessa di quello di secondo grado, poiché può avere diverse forme. Anche se la forma base, o almeno la più comune, è quella che vi mostreremo nell’esempio seguente, f(x) = 2x 3 – 4x 2 + 2x – 2:
Proprietà delle funzioni polinomiali
Le funzioni polinomiali hanno una serie di proprietà o caratteristiche che le distinguono dalle altre funzioni e le dettaglieremo nel modo più chiaro possibile di seguito. In questo modo, quando vedrai funzioni come questa, ti sarà molto facile identificarle:
- Il dominio di una funzione polinomiale è uguale a tutti i numeri reali : Dom f = R oppure Dom f = (-∞, ∞), sono quindi continui su tutto l’insieme dei numeri reali.
- Il suo punto di intersezione sull’asse Y equivale a (0, a 0 ), dove 0 è il termine indipendente.
- Taglia lungo l’asse X un numero di volte pari o inferiore al grado del polinomio.
- Le funzioni polinomiali non hanno asintoti.
- Se l’esponente di tutti i termini è dispari, allora il grafico è simmetrico rispetto all’origine delle coordinate, mentre se l’esponente di tutti i termini è pari, è simmetrico rispetto all’asse OY.
- Il numero di punti di flesso di una funzione di questo stile è uguale o inferiore a n – 2, dove n è il grado.
- Il numero di massimi e minimi relativi di una funzione di questo stile è uguale o inferiore a n – 1, dove n è il grado.
Come si analizza una funzione polinomiale?
Per analizzare una funzione polinomiale dobbiamo seguire la stessa procedura che utilizzeremmo per analizzare qualsiasi altra funzione. Nell’elenco seguente abbiamo riassunto i diversi elementi che devono essere studiati o trattati:
- Dominio e portata
- Punti di intersezione con gli assi orizzontale e verticale
- Monotonia (crescente e decrescente, massimi e minimi)
- Curvatura (in funzioni di grado maggiore di uno)
Ovviamente possiamo portare l’analisi ad un altro livello e studiare molti altri elementi, anche se questo dovrebbe essere sufficiente. Poiché, conoscendo questi elementi, avrai un’idea chiara di come si presenta la funzione e sarai in grado di rappresentarla graficamente.
Esercizi sulle funzioni polinomiali
Successivamente, ti proponiamo una serie di esercizi per esercitarti a rappresentare le funzioni , in particolare le funzioni polinomiali. In questo modo consoliderai tutti i concetti spiegati in questo articolo:
Esercizio 1
Rappresentare graficamente la seguente funzione polinomiale di primo grado f(x) = x + 2 e dire di che tipo è:
È una funzione polinomiale affine di primo grado, perché è diversa da 0 e m è diverso da 0.
Esercizio 2
Rappresentare graficamente la seguente funzione polinomiale quadratica f(x) = x 2 + x – 2:
Esercizio 3
Rappresentare graficamente la seguente funzione polinomiale di terzo grado f(x) = x 2 + x – 2:
