Come fattorizzare i polinomi

Cos’è la fattorizzazione polinomiale? È una tecnica matematica che permette di scomporre un polinomio in fattori o espressioni più semplici. E grazie a questa semplificazione potremo eseguire operazioni tra più espressioni algebriche in modo più semplice e comodo. Quindi, in questo articolo, discuteremo diversi metodi di fattorizzazione dei polinomi e tutti i possibili casi di fattorizzazione.

Come fattorizzare un polinomio?

Esistono molti metodi di fattorizzazione che hanno una propria struttura di soluzione, ma alla fine si basano sulla stessa cosa. Inoltre, puoi anche trovare un’ampia varietà di casi riguardanti la configurazione polinomiale. Ecco perché nelle sezioni seguenti discuteremo di tutte le procedure esistenti e quando utilizzare ciascuna di esse. Infine lo applicheremo ad un esempio reale in modo che tu possa completare l’acquisizione dei concetti.

Fattorizzare un polinomio con la regola di Ruffini

Il metodo più utilizzato per fattorizzare i polinomi è la regola di Ruffini , perché è facile da usare e il risultato può essere trovato rapidamente. La cosa normale è usare questa tecnica per fattorizzare polinomi di grado maggiore di due, o talvolta anche per fattorizzare polinomi di secondo grado. Poiché ti consente di ottenere le radici di questo polinomio in modo molto grafico. Anche se questo utilizzo verrà spiegato nella sezione successiva che si concentrerà sulle radici di un’espressione matematica di questo tipo.

Come fa Ruffini a fattorizzare i polinomi?

In sostanza dovremo scrivere su una linea orizzontale i coefficienti del dividendo e sul lato il valore di un’eventuale radice del polinomio. Diciamo possibile, perché dovremo cercare un divisore che ci permetta di ottenere un resto pari a zero. Altrimenti, questo numero non sarà una radice valida e dovrai continuare a provare.

Come consiglio, ti consigliamo di provare solo i numeri divisori del termine indipendente (ultimo valore della linea orizzontale). Quindi, per sapere se il numero che hai scelto è corretto, ti basterà seguire la seguente sequenza di calcoli :

Diminuisci il coefficiente, moltiplicalo per la radice che stai testando, scrivilo sotto il coefficiente successivo ed esegui l’addizione verticale. Dovrai semplicemente ripetere questi passaggi fino alla fine e, una volta terminato, saprai se questo valore è corretto o meno. Poiché solo i numeri che danno resto zero saranno validi.

Se il procedimento matematico che devi seguire non ti è molto chiaro puoi guardare l’esempio nella colonna a sinistra di questo testo. Inoltre, ti consigliamo di provare a fattorizzare il seguente polinomio: x³ + 2x² – x – 2 (basato sull’esempio). E infine, per sapere se hai risolto correttamente l’esercizio oppure no, puoi confrontare il tuo risultato con questo:

Espressione in eccesso = x² + 3x + 2
resto = 0

Faremo ora una breve spiegazione sull’applicazione di Ruffini nella fattorizzazione . Tuttavia, se vuoi sapere in dettaglio come viene utilizzata questa risorsa matematica, ti consigliamo di accedere all’ultimo articolo che abbiamo collegato, poiché lì è tutto spiegato molto bene. Detto questo cominciamo spiegando come fattorizzare i polinomi con la regola di Ruffini:

Disegniamo la griglia: come possiamo vedere nell’immagine sopra, creeremo una scatola nella quale realizzeremo i Ruffini. In sostanza bisogna scrivere i coefficienti dell’espressione ordinati orizzontalmente e senza tralasciare quelli che hanno valore zero. Alla fine dovresti avere una rappresentazione simile a quella nell’immagine ma con i valori del tuo polinomio.
Calcoliamo le radici: una volta che avremo disegnato la struttura e accertato che tutti i numeri siano scritti correttamente, procederemo al calcolo della radice. Dovrai trovare le radici seguendo la sequenza di calcolo di cui abbiamo parlato poco sopra questo elenco (con le immagini).
Esprimiamo la radice nella forma (x – a): quando abbiamo tutte le radici del polinomio allora dobbiamo esprimerle nella seguente forma (x – a). Tenendo conto che a sono i valori che abbiamo ottenuto, ad esempio se estraessimo come risultato x = 2, x = -2 e x = 4, allora otterremo (x – 2), (x + 2) e ( x-4).
Raccogliamo tutti i fattori in un’unica espressione: infine, quando avremo già tutte le radici espresse nel formato corretto, non ci resta che raccoglierle in un’unica espressione algebrica. Continuando con l’esempio precedente, avremmo qualcosa del genere: (x – 2) · (x + 2) · (x – 4).

Fattorizzare un polinomio utilizzando le radici di un polinomio

Abbiamo spiegato a metà il concetto radice di un polinomio nella sezione di Ruffini. Ma la definizione esatta sarebbe: la radice di un polinomio P(x) è un valore numerico a, tale che P(a) = 0 . Si tratta quindi di un numero capace di annullare la funzione o il polinomio in questione. In sintesi potremmo dire che serve per scomporre un polinomio in un prodotto di fattori.

Ad esempio, se ci viene data la seguente espressione x² − x − 2 e la fattorizziamo utilizzando la regola di Ruffini oppure risolvendo semplicemente l’equazione quadratica x² − x − 2 = 0. Otterremo due valori x = -1 e x = 2, quindi se li cambiamo nel formato (x – a) e li mettiamo insieme, arriveremo alla seguente espressione: (x + 1) (x − 2), cioè il polinomio scomposto . E possiamo applicarlo ai polinomi di grado maggiore di due, anche se l’espressione è composta da più di un termine.

Fattorizzazione di un polinomio mediante estrazione dei fattori comuni

Quando vogliamo fattorizzare polinomi senza un termine indipendente o espressioni che hanno un fattore comune in tutti i termini, allora possiamo semplificare il polinomio utilizzando questa tecnica. Fondamentalmente si tratta di applicare la proprietà distributiva all’intera espressione, rimuovendo il fattore comune ripetuto e aggiungendolo moltiplicando l’intero polinomio. Di seguito troverete un esempio del primo caso di cui abbiamo parlato (polinomio senza termine indipendente):

2x³ + 10x² – 6x = 2x (x² + 5x – 3)

Doppia estrazione del fattore comune

L’estrazione dei fattori comuni può essere effettuata anche estraendo fattori più complessi, che includono più variabili. E puoi anche estrarre polinomi derivati dall’espressione principale stessa. È importante non porre limiti quando si vuole eseguire questo tipo di operazioni, perché l’obiettivo dell’estrazione dei fattori è quello di semplificare il più possibile un’espressione algebrica .

Fattorizzazione di polinomi utilizzando identità notevoli

Prodotti degni di nota possono aiutarci a fattorizzare le espressioni polinomiali, poiché sono una sorta di espressioni algebriche semplificate. Ci aiutano quindi a passare direttamente da un lungo polinomio a una piccola formula composta da pochi termini. È quindi fortemente consigliato apprendere le formule delle identità notevoli per poter identificare rapidamente quando è possibile utilizzarle. E quindi risparmiandoci tempo nel factoring con Ruffini o con uno qualsiasi degli altri metodi. Successivamente, tratteremo le tre regole che devi imparare:

Differenza di quadrati: a² – b² = (a + b) · (a – b)
Quadrato della somma: a² + 2ab + b² = (a + b)²
Quadrato di sottrazione: a² – 2ab + b² = (a – b)²

Fattorizzare i polinomi per raggruppamento

In alcuni casi possiamo trovare un polinomio di struttura x² – ax – bx + ab , che può essere semplificato eliminando un fattore comune: x (x – a) – b (x – a). E se prendiamo nuovamente il divisore comune, possiamo semplificarlo ulteriormente: (x – a) · (x – b). Pertanto, le radici di questo polinomio sarebbero x = aex = b. Come puoi vedere, questo tipo di espressione algebrica ha una struttura molto facile da fattorizzare e utilizzare.

Esercizi di fattorizzazione polinomiale

Infine, vogliamo proporti una serie di esercizi affinché tu possa esercitarti nella fattorizzazione dei polinomi. In questo modo potrai interiorizzare meglio la teoria che abbiamo spiegato oggi. Semplicemente, devi risolvere gli esercizi sul tuo quaderno e poi confrontare i risultati con quelli che ti proponiamo di seguito.

x ⁴ -1 = (x ² + 1) (x + 1) (x – 1)
x ⁵ + x ⁴ – x – 1 = (x – 1) (x + 1) ² (x ² + 1)
^9×2 + 30x + 25 = (3x + 5) ²
x ⁴ – 3x ³ – 3x ² + 11x – 6 = (x + 2) (x – 3) (x – 1) ²