Comment calculer le déterminant d’une matrice 4×4 par des compléments ou des cofacteurs

Dans cette page, nous allons voir comment résoudre un déterminant par adjonctions ou cofacteurs et aussi comment calculer le déterminant d’une matrice de dimension 4×4 . Or, pour résoudre le déterminant d’une matrice d’ordre 4, il faut d’abord savoir calculer un déterminant par les adjoints d’une ligne ou d’une colonne. Nous verrons donc d’abord comment trouver un déterminant par adjoints ou cofacteurs, puis comment faire un déterminant d’ordre 4 .

Comment calculer un déterminant par adjonctions ou cofacteurs ?

Un déterminant peut être calculé en additionnant les produits des éléments de n’importe quelle ligne ou colonne par leurs compléments (ou cofacteurs) respectifs.

Cette méthode s’appelle résoudre un déterminant par adjoints ou cofacteurs, ou il y a même des mathématiciens qui vous disent aussi la règle de Laplace (ou théorème de Laplace).

Exemple de résolution d’un déterminant par adjoints :

Voyons un exemple pratique de la résolution du déterminant d’une matrice 3 × 3 par des adjoints. Faisons le déterminant suivant :

\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}

Tout d’abord, nous devons choisir une colonne ou une ligne du déterminant. Dans ce cas, on choisit la première colonne , puisqu’elle a un 0 et sera donc plus facile à résoudre.

Il faut maintenant multiplier les éléments de la première colonne par leurs adjoints respectifs :

\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

Le complément de 0 n’a pas besoin d’être calculé, car le multiplier par 0 l’annulera. On peut donc simplifier :

\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}

On procède maintenant au calcul des compléments :

\displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 7 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & 5 \end{vmatrix}

Rappelez-vous que pour calculer l’ adjoint de

a_{ij} , c’est-à-dire de l’élément de lignei et de la colonnej , la formule suivante doit être appliquée :

\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}

où le mineur complémentaire de

a_{ij} est le déterminant de la matrice en supprimant la lignei et la colonnej .

On résout les puissances et les déterminants :

= 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)

= 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17

Et on opère avec la calculatrice :

= -54 + 51

= \bm{-3}

Par conséquent, le résultat du déterminant est -3.

Notez que si nous calculons le déterminant avec la règle de Sarrus, nous obtenons le même résultat :

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 0 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4) \\ & = 16 +45 + 0 +6 - 70 -0 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}

Une fois que l’on sait comment un déterminant est calculé par adjoints, on peut maintenant voir comment trouver le résultat d’un déterminant d’ordre 4 :

Comment calculer un déterminant 4×4 ?

Pour résoudre le déterminant d’une matrice d’ordre 4 , il faut appliquer la procédure que nous venons de voir pour les adjoints. Autrement dit, nous choisissons n’importe quelle ligne ou colonne, et nous additionnons les produits de ses éléments par leurs compléments respectifs.

Cependant, en utilisant cette procédure avec un déterminant 4 × 4, de nombreux déterminants 3 × 3 doivent être calculés, et ceux-ci ont tendance à prendre beaucoup de temps. Par conséquent, avant de calculer les adjoints , des transformations sont effectuées sur les lignes , de manière similaire à la méthode gaussienne. Puisqu’une ligne d’un déterminant peut être remplacée par la somme de la même ligne plus une autre ligne multipliée par un nombre.

Par conséquent, pour calculer un déterminant d’ordre 4 par adjoints, il faut choisir la colonne qui contient le plus de zéros , car cela facilitera les calculs. Et puis nous effectuons des opérations internes sur les lignes, pour que tous les éléments de la colonne soient nuls sauf un.

Voyons comment un déterminant 4×4 est fait avec un exemple :

Exemple de résolution d’un déterminant 4×4 :

Nous allons résoudre ce déterminant de la matrice carrée 4×4 suivante :

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}

Dans ce cas, la colonne avec le plus de zéros est la première colonne. Par conséquent, nous choisissons la première colonne.

Et profitant du fait qu’il y a un 1 dans cette colonne, nous allons convertir tous les autres éléments de la première colonne en 0. Puisqu’il est plus facile de faire des calculs avec la ligne qui a un 1.

Par conséquent, pour transformer tous les autres éléments de la colonne en 0, nous ajoutons la première ligne à la deuxième ligne , et nous soustrayons la première ligne multipliée par 2 de la quatrième ligne . La troisième ligne n’a pas besoin d’être modifiée, car elle a déjà un 0 dans la première colonne.

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}

Une fois que nous avons converti tous les éléments sauf un de la colonne choisie en 0, nous calculons le déterminant par adjoints. C’est-à-dire qu’on additionne les produits des éléments de la colonne par leurs adjoints respectifs :

\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Les termes multipliés par 0 s’annulent, nous les simplifions donc :

=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}

=\text{Adj(1)}

Il suffit donc de calculer l’adjoint de 1 :

\displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}

On calcule le déterminant avec la règle de Sarrus et la puissance :

\inlinestyle = 1 \cdot \bigl[ 3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]

=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0

Et enfin on résout les opérations avec la calculatrice :

\displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0

\displaystyle =\bm{98}

Exercices résolus de déterminants 4×4

Exercice 1

Résoudre le déterminant d’ordre 4 suivant :

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

Nous trouverons le résultat du déterminant 4×4 avec la méthode des cofacteurs. Mais d’abord on fait des opérations avec les lignes pour mettre à zéro tous les éléments d’une colonne sauf un :

\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}

Et maintenant on résout le déterminant 4×4 par adjoints avec la dernière colonne :

\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Nous simplifions les termes :

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

On calcule l’adjoint de 1 :

\displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}

Et, enfin, on calcule le déterminant 3×3 avec la règle de Sarrus :

\displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]

\displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]

\displaystyle = \bm{38}

Exercice 2

Calculer le déterminant d’ordre 4 suivant :

\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}

Nous allons calculer le déterminant 4×4 par cofacteurs. Mais pour ce faire, on fait d’abord des opérations avec les lignes pour mettre à zéro tous les éléments d’une colonne sauf un :

\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3} \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}

Maintenant on résout le déterminant 4×4 par adjoints avec la deuxième colonne :

\begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Nous simplifions les termes :

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

On calcule l’adjoint de 1 :

\displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}

Et, enfin, on calcule le déterminant 3×3 avec la règle de Sarrus et la calculatrice :

\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]

\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]

\displaystyle = \bm{124}

Exercice 3

Trouver le résultat du déterminant d’ordre 4 suivant :

\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}

Nous allons résoudre le déterminant 4×4 par adjoints. Bien que nous fassions d’abord des opérations avec les lignes pour convertir à zéro tous les éléments d’une colonne sauf un :

\begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}

Maintenant on résout le déterminant 4×4 par adjoints avec la troisième colonne :

\begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Nous simplifions les termes :

= \cancel{0\bm{\cdot}+ \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

On calcule l’adjoint de 1 :

\displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}

Et enfin, on résout le déterminant 3×3 avec la règle de Sarrus et la calculatrice :

\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]

\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]

\displaystyle = \bm{69}

Exercice 4

Calculer le résultat du déterminant d’ordre 4 suivant :

\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}

Nous allons résoudre le déterminant 4×4 par la règle de Laplace. Mais il faut d’abord faire des opérations avec les lignes pour mettre à zéro tous les éléments d’une colonne sauf un :

\begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}

Maintenant on résout par adjoints le déterminant 4×4 avec la première colonne :

\begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}

Nous simplifions les termes :

= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}

=- \text{Adj(-1)}

On calcule l’adjoint de -1 :

\displaystyle =- (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]-6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 11 & 5 & -3 \end{vmatrix}

Et enfin, on résout le déterminant 3×3 avec la règle de Sarrus et la calculatrice :

\displaystyle = -(-1)^{5} \cdot \bigl[18-55-240-264+10+90\bigr]

\displaystyle = -(-1) \cdot \bigl[-441 \bigr]

\displaystyle = - \bigl[+441 \bigr]

\displaystyle = \bm{-441}

Avec toute cette pratique, vous savez sûrement déjà comment résoudre les déterminants 4×4. Fantastique! Nous espérons qu’avec tous ces exercices, vous serez maintenant en mesure de calculer la plage d’une matrice de dimension 4×4 qui coûte tant de personnes.

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