Dans cet article, nous expliquons comment dériver la cosécante hyperbolique d’une fonction. De plus, vous pourrez voir plusieurs exemples résolus de la dérivée de la cosécante hyperbolique.
Formule de la dérivée de la cosécante hyperbolique
La dérivée de la cosécante hyperbolique de x est égale à moins la cosécante hyperbolique de x fois la cotangente hyperbolique de x.
Par conséquent, la dérivée de la cosécante hyperbolique d’une fonction est moins le produit de la cosécante hyperbolique de la fonction multipliée par la cotangente hyperbolique de la fonction multipliée par la dérivée de ladite fonction.
En bref, la formule pour dériver la cosécante d’une fonction est la suivante :
En fait, les deux expressions précédentes correspondent à une seule formule, la différence est que la règle de la chaîne est appliquée dans la deuxième formule.
Exemples de dérivée de la cosécante hyperbolique
Après avoir vu quelle est la formule de la dérivée de la cosécante hyperbolique, voici plusieurs exemples travaillés de ce type de dérivée trigonométrique.
Exemple 1
Dans ce premier exemple, nous dériverons la cosécante hyperbolique de x au carré :
La fonction de l’argument de la cosécante hyperbolique est différente de x, nous devons donc utiliser la formule de la dérivée de la cosécante hyperbolique avec la règle de chaîne.
Donc, pour dériver cette fonction trigonométrique, nous devons simplement substituer les valeurs dans la formule précédente, c’est-à-dire que dans l’argument de la cosécante hyperbolique et de la tangente hyperbolique, nous mettons x 2 , et nous multiplions le tout par la dérivée de x au carré , qui est 2x :
Exemple 2
Dans cet exercice, nous verrons combien est la dérivée de la cosécante hyperbolique de x au cube :
Pour trouver la dérivée de la cosécante hyperbolique d’une fonction, on applique sa formule :
La dérivée de x au cube est 3x 2 , donc la dérivée de la fonction entière est :
