Dérivée du cosinus hyperbolique

Dans cet article, nous expliquons comment dériver le cosinus hyperbolique d’une fonction. De plus, vous trouverez des exemples de dérivées de cosinus hyperboliques et, enfin, nous vous montrerons la formule de ce type de dérivée trigonométrique.

Formule dérivée du cosinus hyperbolique

La dérivée du cosinus hyperbolique de x est le sinus hyperbolique de x.

$f(x)=\text{cosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x)$

Par conséquent, la dérivée du cosinus hyperbolique d’une fonction est égale au produit du sinus hyperbolique de la fonction par la dérivée de cette fonction.

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

La deuxième formule est identique à la première, la seule différence est que dans la seconde la règle de la chaîne est appliquée. Ainsi, la première formule ne peut être utilisée que pour dériver le cosinus hyperbolique de x, tandis que la seconde formule peut être utilisée pour dériver le cosinus hyperbolique de tout type de fonction.

Comme vous pouvez le voir, la formule de la dérivée du cosinus hyperbolique est différente de la formule de la dérivée du cosinus, bien qu’elles partagent certaines similitudes.

➤ Voir : formule de la dérivée du cosinus

Exemples de la dérivée du cosinus hyperbolique

Étant donné la formule de la dérivée du cosinus hyperbolique, nous résolvons ci-dessous plusieurs exemples de dérivées de ce type de fonctions trigonométriques. N’oubliez pas que vous pouvez poser toutes les questions qui se posent dans les commentaires.

Exemple 1 : Dérivée du cosinus hyperbolique de 2x

$f(x)=\text{cosh}(2x)$

Dans cet exemple nous avons dans l’argument du cosinus hyperbolique une fonction différente de x, nous devons donc utiliser la formule de la dérivée du cosinus hyperbolique avec la règle de chaîne :

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

La dérivée de 2x est 2, donc la dérivée du cosinus hyperbolique de 2x est le sinus hyperbolique de 2x fois 2.

$f(x)=\text{cosh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)$

Exemple 2 : Dérivée du cosinus hyperbolique de x au carré

$f(x)=\text{cosh}(x^2)$

Comme nous l’avons vu ci-dessus, la règle de la dérivée de la fonction cosinus hyperbolique est :

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

Ainsi, on dérive d’une part la fonction quadratique x ² , ce qui donne 2x, puis on calcule la dérivée de la fonction entière :

$f(x)=\text{cosh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x^2)\cdot 2x$

Preuve de la formule de la dérivée du cosinus hyperbolique

Enfin, nous vous montrerons la formule dérivée du cosinus hyperbolique afin que vous puissiez voir d’où elle vient. Si l’on part de l’expression du cosinus hyperbolique :

$\text{cosh}(x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}$