Wendepunkte einer funktion

Hier erklären wir, was ein Wendepunkt einer Funktion ist und wie man alle Wendepunkte einer Funktion findet. Darüber hinaus finden Sie Schritt-für-Schritt-Übungen zu den Krümmungs- und Wendepunkten einer Funktion.

Was sind die Wendepunkte einer Funktion?

Die Wendepunkte einer Funktion sind die Punkte, an denen der Graph der Funktion die Krümmung ändert, d. h. an einem Wendepunkt ändert sich eine Funktion von konkav zu konvex oder umgekehrt.

So erkennen Sie, ob eine Funktion einen Wendepunkt hat

Lassen Sie uns anhand der Definition des Wendepunkts herausfinden, ob ein bestimmter Punkt ein Wendepunkt der Funktion ist.

Eine Funktion hat einen Wendepunkt an Punkten, die ihre zweite Ableitung aufheben und ihre dritte Ableitung ungleich Null ist.

\left.\begin{array}{l}f''(a)=0\\[2ex]f'''(a)\neq 0\end{array}\right\} \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un punto de inflexi\'on}

Als Beispiel berechnen wir die Wendepunkte der folgenden Funktion dritten Grades:

f(x)=x^3-5x

Zuerst berechnen wir die zweite und dritte Ableitung der Funktion:

f'(x)=3x^2-5

f''(x)=6x

f'''(x)=6

Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich 0 und lösen die resultierende Gleichung:

6x=0

x=0

Dann ist der Punkt x=0 ein Wendepunkt der Funktion, wenn die dritte Ableitung an diesem Punkt ungleich Null ist. In unserem Fall ist die dritte Ableitung immer gleich 6.

f'''(0)=6\neq 0

Daher ist x=0 ein Wendepunkt der Funktion.

Wie man die Krümmung untersucht und die Wendepunkte einer Funktion findet

Wir haben gerade eine Methode zum Finden von Wendepunkten gesehen. Normalerweise neigen wir jedoch dazu, die Krümmung einer Funktion zu untersuchen, das heißt, die Konkavität und Konvexität einer Funktion zu bestimmen und daraus die Wendepunkte zu berechnen.

Um die Wendepunkte einer Funktion durch ihre Krümmung zu finden, müssen folgende Schritte durchgeführt werden:

  1. Finden Sie die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehören .
  2. Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion.
  3. Finden Sie die Wurzeln der zweiten Ableitung , das heißt, berechnen Sie durch Lösen die Punkte, die die zweite Ableitung aufheben

    f''(x)=0

    .

  4. Bilden Sie Intervalle mit den Wurzeln der Ableitung und den Punkten, die nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehören.
  5. Berechnen Sie den Wert der zweiten Ableitung an einem Punkt in jedem Intervall.
  6. Das Vorzeichen der zweiten Ableitung bestimmt die Konkavität oder Konvexität der Funktion in diesem Intervall:
    • Wenn die zweite Ableitung der Funktion positiv ist, ist die Funktion in diesem Intervall konvex .
    • Wenn die zweite Ableitung der Funktion negativ ist, ist die Funktion in diesem Intervall konkav .
  7. Wendepunkte sind die Punkte, an denen sich die Funktion von konvex nach konkav oder umgekehrt ändert.

Damit Sie sehen können, wie die Wendepunkte einer Funktion mit diesem Verfahren berechnet werden, lösen wir im Folgenden ein Beispiel Schritt für Schritt:

  • Untersuchen Sie die Krümmung und finden Sie die Wendepunkte der folgenden Polynomfunktion:

f(x)=x^4-6x^2

Als erstes muss der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden. Da es sich um eine Polynomfunktion handelt, besteht der Definitionsbereich der Funktion aus reellen Zahlen, es handelt sich also um eine stetige Funktion:

\text{Dom } f= \mathbb{R}

Nachdem wir den Definitionsbereich der Funktion berechnet haben, müssen wir untersuchen, an welchen Punkten sie erfüllt ist

f''(x)=0

.

Wir berechnen daher zunächst die erste Ableitung der Funktion:

f(x)=x^4-6x^2 \ \longrightarrow \ f'(x)= 4x^3-12x

Als nächstes berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion:

f'(x)=4x^3-12x \ \longrightarrow \ f''(x)= 12x^2-12

Und nun setzen wir die zweite Ableitung gleich 0 und lösen die Gleichung:

f''(x)=0

12x^2-12=0

12x^2=12

x^2=\cfrac{12}{12}

x^2=1

\sqrt{x^2}=\sqrt{1}

x=\pm1

Sobald wir den Definitionsbereich der Funktion und berechnet haben

f''(x)=0

, wir stellen alle kritischen Punkte dar, die auf der Zahlengeraden gefunden werden:

Und jetzt bewerten wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konkav oder konvex ist. Wir nehmen daher in jedem Intervall einen Punkt (niemals die kritischen Punkte) und schauen uns an, welches Vorzeichen die zweite Ableitung an diesem Punkt hat:

f''(x)=12x^2-12

f''(-2) = 12\cdot (-2)^2-12 =36 \ \rightarrow \ \bm{+}

f''(0) = 12\cdot 0^2-12 = -12 \ \rightarrow \ \bm{-}

f''(2) = 12\cdot 2^2-12=36 \ \rightarrow \ \bm{+}

Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.

(\bm{\cup})

, und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist

(\bm{\cap})

. Daher sind die Konkavitäts- und Konvexitätsintervalle der Funktion:

Konvex

(\bm{\cup})

:

\bm{(-\infty,-1) \cup (1,+\infty)}

Konkav

(\bm{\cap})

:

\bm{(-1,1)}

Darüber hinaus geht die Funktion bei x=-1 von konvex zu konkav über, sodass x=-1 ein Wendepunkt der Funktion ist . Und bei x=1 geht die Funktion von konkav zu konvex über, sodass x=1 auch ein Wendepunkt der Funktion ist .

Schließlich ersetzen wir die gefundenen Punkte in der ursprünglichen Funktion, um die Y-Koordinate der Wendepunkte zu ermitteln:

f(-1)=(-1)^4-6(-1)^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (-1,-5)

f(1)=1^4-6\cdot 1^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (1,-5)

Die Wendepunkte der Funktion sind daher:

Wendepunkte:

\bm{(-1,-5)}

Und

\bm{(1,-5)}

Unten sehen Sie die grafische Darstellung der untersuchten Funktion:

Wendepunkte einer Funktion

Wie Sie der Grafik entnehmen können, geht die Funktion von konvex aus

(\cup)

konkav sein

(\cap)

Um

(-1,-5)

da sich seine Krümmung ändert. Und andererseits geht die Funktion von konkav aus

(\cap)

konvex sein

(\cup)

Um

(1,-5)

.

Drehübungen gelöst

Übung 1

Berechnen Sie die Konkavitäts- und Konvexitätsintervalle sowie die Wendepunkte der folgenden Exponentialfunktion:

f(x) = xe^x

Als erstes muss der Definitionsbereich der Funktion berechnet werden. Die Funktion besteht aus einer Polynomfunktion (x), deren Definitionsbereich nur aus reellen Zahlen besteht, und einer Exponentialfunktion (e x ), deren Definitionsbereich ebenfalls aus reellen Zahlen besteht. Daher besteht der Definitionsbereich der Funktion aus reellen Zahlen:

\text{Dom } f= \mathbb{R}

Berechnen wir nun die Ableitung der Funktion. In diesem Fall besteht die Funktion aus dem Produkt zweier Funktionen. Um die Funktion abzuleiten, müssen wir die Formel für die Ableitung eines Produkts anwenden:

f'(x)=1 \cdot e^x+ x \cdot e^x

f'(x)=e^x +xe^x

Als nächstes berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion:

f''(x)= e^x + 1 \cdot e^x+ x \cdot e^x

f''(x)=e^x +e^x + xe^x = 2e^x +xe^x

Wir setzen die zweite Ableitung gleich 0 und lösen die Gleichung:

f''(x)= 0

2e^x+xe^x= 0

Wir extrahieren den gemeinsamen Faktor:

e^x(2+x)=0

Damit die Multiplikation gleich 0 ist, muss eines der beiden Elemente der Multiplikation Null sein. Deshalb setzen wir jeden Faktor gleich 0:

\displaystyle e^x\cdot(2+x) =0 \longrightarrow \begin{cases} e^x=0 \ \color{red}\bm{\times}\color{black} \\[2ex] 2+x=0 \ \longrightarrow \ x= - 2 \end{cases}

Eine auf eine andere erhöhte Zahl kann niemals 0 ergeben. Daher die Gleichung

e^x=0

Es gibt keine Lösung.

Wir stellen alle auf der rechten Seite erhaltenen singulären Punkte dar:

Und jetzt bewerten wir das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konkav oder konvex ist. Dazu nehmen wir einen Punkt in jedem Intervall und schauen uns an, welches Vorzeichen an diesem Punkt die zweite Ableitung hat:

f''(-3)= 2e^{-3} +(-3)\cdot e^{-3} = 0,1 - 0,15 = -0,05\ \rightarrow \ \bm{-}

f''(0)= 2e^0 +0\cdot e^0 = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 =2+0= 2 \ \rightarrow \ \bm{+}

Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.

(\bm{\cup})

, und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist

(\bm{\cap})

. Die Konkavitäts- und Konvexitätsintervalle sind daher:

Konvex

(\bm{\cup})

:

\bm{(-2,+\infty)}

Konkav

(\bm{\cap})

:

\bm{(-\infty,-2)}

Darüber hinaus ändert sich die Funktion bei x=-2 von konkav zu konvex, sodass x=-2 ein Wendepunkt der Funktion ist .

Schließlich ersetzen wir den gefundenen Wendepunkt in der ursprünglichen Funktion, um die Y-Koordinate des Punktes zu ermitteln:

f(-2) = (-2)\cdot e^{-2} =-2e^{-2} \ \longrightarrow \ (-2,-2e^{-2})

Zusammenfassend sind die einzigen Wendepunkte der Funktion:

Wendepunkte:

\bm{(-2,-2e^{-2})}

Übung 2

Untersuchen Sie die Intervalle von Konkavität und Konvexität und finden Sie die Wendepunkte der folgenden rationalen Funktion:

\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}

Zuerst müssen wir den Definitionsbereich der Funktion berechnen. Da es sich um eine rationale Funktion handelt, setzen wir den Nenner gleich Null, um zu sehen, welche Zahlen nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehören:

x^2-4= 0

x^2=4

\sqrt{x^2}=\sqrt{4}

x=\pm 2

Das heißt, wenn x -2 oder +2 ist, ist der Nenner 0. Daher existiert die Funktion nicht. Der Definitionsbereich der Funktion besteht daher aus allen Zahlen außer x=-2 und x=+2.

\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{-2, +2 \}

Zweitens berechnen wir die erste Ableitung der Funktion:

f(x)=\cfrac{x^3}{x^2-4} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{3x^2 \cdot (x^2-4) - x^3 \cdot 2x }{\left(x^2-4\right)^2}

f'(x)= \cfrac{3x^4-12x^2-2x^4}{\left(x^2-4\right)^2} = \cfrac{x^4-12x^2}{\left(x^2-4\right)^2}

Und dann lösen wir die zweite Ableitung:

f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 2\left(x^2-4\right)\cdot 2x }{ \left(\left(x^2-4\right)^2 \right)^2}

f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\left(x^2-4\right) }{\left(x^2-4\right)^4 }

Alle Terme werden mit multipliziert

(x^2-4)

. Wir können den Bruch daher vereinfachen:

f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^{\cancel{2}} - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\cancel{\left(x^2-4\right)} }{\left(x^2-4\right)^{\cancelto{3}{4}} }

f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right) - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x}{\left(x^2-4\right)^3 }

f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - \left(4x^5-48x^3\right) }{\left(x^2-4\right)^3 }

f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - 4x^5+48x^3 }{\left(x^2-4\right)^3 }

f''(x)= \cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }

Berechnen wir nun die Wurzeln der zweiten Ableitung der Funktion:

f''(x)= 0

\cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }=0

Der Begriff

\left(x^2-4\right)^3

Dazu müssen wir die gesamte linke Seite dividieren, damit wir sie mit der gesamten rechten Seite multiplizieren können:

8x^3+96x =0\cdot \left(x^2-4\right)^3

8x^3+96x =0

Wir extrahieren den gemeinsamen Faktor:

x(8x^2+96)=0

Damit die Multiplikation gleich 0 ist, muss eines der beiden Elemente der Multiplikation Null sein. Deshalb setzen wir jeden Faktor gleich 0:

\displaystyle x\cdot(8x^2+96) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x =0} \\[2ex] 8x^2+96=0 \ \longrightarrow \ x^2=\cfrac{-96}{8}} = -12 \ \longrightarrow \ x= \sqrt{-12} \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}

x= \sqrt{-12}

Es gibt keine Lösung, da es keine negative Wurzel einer reellen Zahl gibt.

Wir stellen nun auf der Geraden alle erhaltenen kritischen Punkte dar, also die Punkte, die nicht zum Definitionsbereich gehören (x=-2 und x=+2) und diejenigen, die die zweite Ableitung aufheben (x=0):

Und wir bewerten das Vorzeichen der zweiten Ableitung in jedem Intervall, um zu wissen, ob die Funktion konkav oder konvex ist. Wir nehmen also einen Punkt in jedem Intervall und schauen uns an, welches Vorzeichen die zweite Ableitung an diesem Punkt hat:

f''(-3)=\cfrac{8(-3)^3+96(-3) }{\left((-3)^2-4\right)^3 } = \cfrac{-504}{125}=-4,03 \ \rightarrow \ \bm{-}

f''(-1)=\cfrac{8(-1)^3+96(-1) }{\left((-1)^2-4\right)^3 } = \cfrac{-104}{-27}=3,85 \ \rightarrow \ \bm{+}

f''(1)=\cfrac{8\cdot1^3+96\cdot 1 }{\left(1^2-4\right)^3 } = \cfrac{104}{-27}=-3,85 \ \rightarrow \ \bm{-}

f''(3)=\cfrac{8\cdot 3^3+96\cdot 3 }{\left(3^2-4\right)^3 } = \cfrac{504}{125}=4,03 \ \rightarrow \ \bm{+}

Wenn die zweite Ableitung positiv ist, bedeutet dies, dass die Funktion konvex ist.

(\bm{\cup})

, und wenn die zweite Ableitung negativ ist, bedeutet dies, dass die Funktion konkav ist

(\bm{\cap})

. Die Konkavitäts- und Konvexitätsintervalle sind daher:

Konvex

(\bm{\cup})

:

\bm{(-2,0)\cup (2,+\infty)}

Konkav

(\bm{\cap})

:

\bm{(-\infty,-2)\cup (0,2)}

Die Funktion ändert die Krümmung an drei Punkten, daher hätte die rationale Funktion im Prinzip drei Wendepunkte, nämlich x=-2, x=0 und x=2. Obwohl sich die Krümmung bei x=-2 und bei x=+2 ändert, handelt es sich jedoch nicht um Wendepunkte, da sie nicht zum Definitionsbereich der Funktion gehören. Andererseits gibt es bei x=0 eine Änderung der Krümmung und diese gehört zur Funktion, sodass x=0 der einzige Wendepunkt der Funktion ist.

Jetzt muss nur noch die Y-Koordinate des Wendepunkts berechnet werden:

\displaystyle f(0)=\frac{0^3}{0^2-4} =\frac{0}{-4}=0\ \longrightarrow \ (0,0)

Kurz gesagt, der einzige Wendepunkt der rationalen Funktion ist der Koordinatenursprung:

Wendepunkte:

\bm{(0,0)}

Übung 3

Wir wissen, dass die Funktion

f(x)=x^3+ax^2+bx+c

durch den Punkt gehen

(3,1)

hat ein relatives Extrem in

x=1

, und ein Wendepunkt in

x = 2

. Berechnen Sie aus diesen Informationen die Parameterwerte

a, b

Und

c

.

Die Funktion soll einen Wendepunkt haben

x= 2

bedeutet, dass

f''(2)=0

. Daher berechnen wir die zweite Ableitung der Funktion in

x= 2

und wir setzen es gleich 0:

f(x) = x^3+ax^2+bx+c \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2+2ax+b

f'(x)=3x^2+2ax+b \ \longrightarrow \ f''(x)= 6x+2a

\left. \begin{array}{l} f''(2)=6\cdot 2+2a\\[2ex] f''(2)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 6\cdot 2+2a=0

Und wir lösen die erhaltene Gleichung, um den Wert des Parameters a zu finden:

6\cdot 2+2a=0

12+2a=0

2a=-12

a=\cfrac{-12}{2}

\bm{a=-6}

Die Funktion wird daher sein:

f(x)=x^3+ax^2+bx+c \ \xrightarrow{a \ = \ -6}\ f(x)=x^3-6x^2+bx+c

Darüber hinaus hat die Funktion ein Extrem in

x= 1

, Was bedeutet, dass

f'(1)=0

. Daher berechnen wir die erste Ableitung der Funktion in

x= 1

und wir setzen es gleich 0:

f(x)=x^3-6x^2+bx+c \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-12x+b

\left. \begin{array}{l} f'(1)=3\cdot 1^2-12\cdot 1+b\\[2ex] f'(1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 3\cdot 1^2-12\cdot 1+b=0

Und wir lösen die erhaltene Gleichung, um den Wert der Unbekannten b zu finden:

3\cdot 1^2-12\cdot 1+b=0

3 \cdot 1 -12 + b = 0

3 -12 + b = 0

b=+12-3

\bm{b=9}

Die Funktion wird daher sein:

f(x)=x^3-6x^2+bx+c \ \xrightarrow{b \ = \ 9} \ f(x)=x^3-6x^2+9x+c

Andererseits sagen sie uns, dass die Funktion durch den Punkt (3,1) verläuft. Das heißt,

f(3)=1

. Daher können wir diese Bedingung anwenden, um den Wert des Parameters c zu ermitteln:

\left. \begin{array}{l} f(3)=3^3-6\cdot 3^2+9\cdot3+c \\[2ex] f(3)=1 \end{array} \right\} \longrightarrow 3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+c = 1

Und wir lösen die erhaltene Gleichung, um den Wert von zu ermitteln

b:

3^3-6\cdot 3^2+9\cdot 3+c = 1

27-6\cdot 9+27+c = 1

27-54+27+c = 1

c=1-27+54-27

\bm{c=1}

Die Funktion wird daher sein:

f(x)=x^3-6x^2+9x+c \ \xrightarrow{c \ = \ 1} \ f(x)=x^3-6x^2+9x+1

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