什么是四元数？ -Mathority

从词源上来说，四元数或四元数来自拉丁语quaterni 。在西班牙语中，这个词翻译为“四点”。然而，它的解释是“四个元素的数量”。

四元数是最初由 William Rowan Hamilton 创建的非置换域的元素。四元数被定义为构成超复数的实数的扩展。事实上，它们与复数非常相似。

也就是说，四元数是由于类比引起的放大而出现的。另一方面，复数是通过虚数单位i的和对实数的扩展而产生的，因此i 的平方等于 -1。在第一种情况下，虚数单位k 、 i和j被添加到实数中。

因此，对于四元数，我们有： i ² = j ² = k ² = ijk = -1。该表示对应于凯莱表中的排列。在这一点上，值得一提的是i 、 j 、 k和 1 是四元数的四个基本支柱。

凯莱的桌子

威廉·汉密尔顿 (William Hamilton) 于 1843 年发明了四元数，这种方法使他能够对向量进行乘除法、旋转向量和拉伸向量。

四元数是如何制作的？

四元数形成了一个美丽的代数，其中每个对象都包含 4 个变量。事实上，它们有时被称为欧拉参数，不应与欧拉角混淆。这些对象可以作为单个单元以类似于常规数字代数的方式进行加法和乘法。

然而，还是有区别的。用数学术语来说，四元数乘法是不可交换的。

四元数有 4 个维度。每个四元数由 4 个标量、一个实维和 3 个虚维组成。这些虚数维度中的每一个都有一个单位值 -1 的平方根。然而，它们是不同的 -1 平方根，彼此垂直，称为i 、 j和k 。因此，四元数可以表示如下：

x = (a, b, c, d) 写作 x = a + bi + cj + dk

因此，a、b、c和d表示由每个四元数明确定义的实数。另一方面，数字 1、 i 、 j和k是基本数字。如果我们想用集合来表示四元数，可以这样做：假设IR ⁴表示集合，则表达式为： IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}

这个集合与真实的四维空间是一致的。正如一组实数对应于一维空间，一组复数对应于二维空间。

四元数说明了不规则体。这意味着它是一个类似于域的代数结构。然而，它在乘法中不可交换。换句话说，它满足了物体的所有品质，但其结果不可交换。

四元数乘法是结合律。此外，每个非零四元数都有一个唯一的逆。与复数相比，四元数不构成关联代数。

最后，与复数和实数表示单位或双空间的欧几里德向量维度相同，四元数创建了四维欧几里德向量区域。

矩阵表示也是四元数的特征。在这种情况下，应用数学矩阵来表达它。例如，如果我们有四元数 p = a + bi + cj + dk，则可以将其表示为复数 2 x 2 矩阵，如下所示：

在四元数中使用矩阵表示的另一种方法是使用实 4 x 4 矩阵。此外，通过使用矩阵来表示四元数，可以将它们表示为两个向量的内积。因此，一个分量为： = (a1, a2, a3, a4) ，另一个分量为 {1, i, j, k }。

在这种情况下，生成实部的元素a ₁被单独写入。此外，对于标量积，仅考虑三个基数i、j、k ：

x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)

为了添加并获得一个四元数与另一个四元数之间的乘积，需要应用复数算术。其工作原理与之前 IR ⁴组的情况相同。也就是说，该集合加上其余操作补偿了物体的所有品质。在这种情况下，唯一相关的是产品不通勤。

如有补充，则逐项进行。无论如何，它的工作原理与复数相同。也就是说：

(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k。

对于产品来说，它是从一个组件应用到另一个组件。根据这个，它看起来像这样：

ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k

正如我们之前已经指出的，四元数的乘积永远不可交换。相反，它总是关联的。前面详细阐述的操作可以通过替换表示来执行。

四元数远远超出了数学研究的范围。目前它们有各种应用。首先，它们用于验证数论中的答案。拉格朗日定理就是一个例子，该定理指出任何自然数都可以表示为 4 个完全平方和。

另一方面，它在物理学领域也有应用。四元数对于量子力学、电磁学等非常有用。