La théorie des ensembles est l’un des quatre éléments de la logique mathématique . Cette théorie analyse le regroupement des éléments en étudiant leurs qualités et les liens entre les objets qui composent l’ensemble.
Lorsque nous parlons d’ensembles, dans cette théorie, nous nous référons à des groupes abstraits de structures qui ont une caractéristique similaire. Dans cette théorie, des opérations telles que l’intersection, le complément, la différence et l’union sont effectuées avec les objets qui créent l’ensemble en tant que tel.
Plus simplement, la théorie des ensembles est une branche des mathématiques basée sur les ensembles. Par conséquent, il évalue toutes les propriétés de chaque élément, ainsi que les connexions qui se produisent entre eux.
Comme nous l’avons bien expliqué auparavant, les ensembles ne sont rien de plus que des groupes d’objets. C’est-à-dire qu’il peut s’agir de symboles, de mots, de chiffres, de figures géométriques, de lettres, entre autres.
Quels types d’ensembles existe-t-il ?
Selon le nombre d’objets contenus dans un ensemble, ils sont classés de différentes manières. Ce sont les suivants :
- Ensembles finis : sont tous ceux qui ont un nombre commun d’éléments. Par exemple, l’ensemble des jours de la semaine, l’ensemble des voyelles, entre autres.
- Ensembles infinis – contiennent un nombre infini d’objets. Par exemple, les nombres réels.
- Ensemble universel : regroupe tous les objets pris en considération dans un cas particulier. Par exemple, si vous souhaitez utiliser le jeu de nombres d’un dé, le jeu universel est U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Ensemble vide : est l’ensemble qui n’a pas d’éléments. Par exemple, l’ensemble des mois de l’année qui ont 27 jours.
Quelles sont les méthodes pour définir un ensemble ?
Pour définir un ensemble , on établit, en premier lieu, un aspect commun des éléments du groupe. Par exemple, un premier ensemble contenant des entiers positifs, des nombres pairs inférieurs à 20. Cela ressemblerait à ceci :
A= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18}.
A partir de là, deux méthodes peuvent être utilisées pour définir un ensemble. La première d’entre elles est connue sous le nom de méthode de numérotation ou d’extension . Et la seconde s’appelle la méthode de description . Dans le premier, les éléments de l’ensemble sont spécifiquement listés, tandis que dans le second, la propriété que les éléments doivent satisfaire est basée sur.
Le premier système est très utile pour décrire des ensembles qui contiennent peu d’éléments , voici quelques exemples :
Lancez les dés communs M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (Finite).
Les voyelles qui sont dans l’alphabet G= {a, e, i, o, u} (Finite).
Alors que la deuxième méthode est plus pratique pour définir des ensembles avec un grand nombre d’éléments , ou des ensembles infinis. Ensuite, nous vous montrons quelques exemples :
Tous les nombres naturels inférieurs à 32 S = {x ∈ ℕ | x < 32} (fini).
Tous les nombres naturels N = {x ∈ ℕ} (Infini).
Qu’est-ce qu’un ensemble de nombres ?
Fondamentalement, la catégorisation dans laquelle se trouvent les nombres est connue sous le nom d’ensembles numériques . Ceci en relation avec les caractéristiques de chacun d’entre eux. C’est-à-dire, si par exemple un nombre a des décimales ou s’il a un signe négatif.
Les ensembles numériques sont chacun des nombres que nous devons effectuer différentes opérations mathématiques. Cela s’applique à la fois dans la vie quotidienne et dans des scénarios plus complexes tels que la science ou l’ingénierie.
Ces ensembles sont issus de créations de l’esprit humain. Ils sont donc constitués dans l’abstrait. Autrement dit, les ensembles numériques n’existent pas matériellement . Les ensembles numériques sont ensuite divisés en plusieurs types de nombres.
- Les nombres naturels : ce sont ceux que nous utilisons tous pour compter. Ils s’étendent à l’infini et prennent de petites fractions d’unité. Formellement, l’ensemble des nombres naturels s’exprime avec la lettre N et comme suit : ℕ = {1, 2, 3 …} = ℕ \ {0}
- Entiers : Ces nombres englobent les nombres naturels. Aussi, tous les nombres qui occupent des fractions circonspectes, mais qui ont un signe négatif devant eux. De même, le zéro est également ajouté. Ils peuvent être exprimés comme suit : ℤ = {…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}. Dans cet ensemble, chacun des nombres a son équivalent de signe opposé. Autrement dit, l’opposé de 8 est – 8.
- Nombres rationnels : les nombres rationnels recouvrent les nombres exprimés sous la forme d’un quotient de deux entiers et de tous les entiers. Cela signifie qu’ils peuvent avoir un nombre décimal sans aucun problème. Cet ensemble pourrait s’exprimer comme suit : ℚ = ℤ/ℤ.
- Nombres irrationnels : Ces nombres ne sont pas exprimés sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers. De plus, ils ne sont pas spécifiés dans une section périodique continue, même s’ils s’étendent à l’infini. Il est nécessaire de préciser que les nombres irrationnels et rationnels font partie d’ensembles différents. Ils n’ont donc pas de caractéristique commune. Un exemple de nombre irrationnel est : √123. 11.0905365064.
- Nombres réels : ces nombres regroupent les nombres rationnels et irrationnels. Cela signifie que ce groupe comprend des nombres allant de moins l’infini à l’infini.
- Nombres imaginaires : ces nombres sont obtenus à la suite de la multiplication de l’unité imaginaire par n’importe quel nombre réel. L’unité imaginaire se traduit par la racine carrée de – 1. Ces nombres n’ont aucun rapport avec les nombres réels. Ils sont exprimés comme suit : p= r * s. Dans ce cas : p est un nombre imaginaire, r est un nombre réel et s est l’unité imaginaire.
- Nombres complexes – Les nombres complexes comprennent une partie imaginaire et une partie réelle. Sa structure s’exprime comme suit : v + ri. Dans ce cas : v est un nombre réel, r est la partie imaginaire, i est l’unité imaginaire
Qu’est-ce que l’union des ensembles ?
On peut considérer que l’ union d’ensembles n’est rien d’autre qu’une opération binaire qui s’effectue sur l’ensemble de tous les ensembles internes d’un U. Entendez par opération binaire celle qui dépend de l’opérateur et de deux arguments pour qu’il y ait un calcul particulier.
En ce sens, chaque couple d’ensembles A et B faisant partie de U est associé à un autre ensemble (AUB) de U. Ainsi, si A et B sont deux ensembles distincts, l’union des ensembles s’exprime comme suit : A= {Luis, Carlos}, B={Carla, Luisa, Paola} ; AUB={ Luis, Carlos, Carla, Luisa, Paola}.
Qu’est-ce que l’intersection des ensembles ?
L’ intersection d’ensembles est une opération qui dérive dans un autre ensemble avec des objets répétés ou fréquents aux ensembles originaux. Dans le cas où une intersection d’ensembles vides se produit, elle est définie comme disjointe. Dans ce cas, il s’exprime comme suit : S ∩ D = Ø.
Le symbole ∩ dans cette opération répond à l’intersection. Pour mieux comprendre, voyons l’exemple suivant :
M= {Vert, Noir, Blanc, Violet}.
J = {Noir, Vert, Rose, Bleu}.
Dans ce cas : M ∩ J = {vert, noir} car ce sont les objets qui se répètent dans les deux ensembles initiaux.
Qu’est-ce que la différence d’ensemble ?
La différence d’ensemble est la troisième opération qui fait partie de la théorie des ensembles. Elle est définie comme l’opération qui permet d’obtenir un nouvel ensemble à partir des objets de A qui ne sont pas contenus dans B. Par exemple :
UNE = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
B = {2, 4, 6, 8}.
Ainsi, la différence d’ensemble est obtenue à partir des éléments qui font partie de l’ensemble A, mais pas de l’ensemble B. Cela se traduit par {10, 12, 14}.
Qu’est-ce que le complément d’un ensemble ?
Le complément d’un ensemble est défini comme tous les objets de U qui ne font pas partie de l’ensemble. Autrement dit, c’est un ensemble qui a des éléments qui ne constituent pas l’ensemble d’origine. Pour mieux comprendre ce concept, il est indispensable de connaître les objets qui sont utilisés, ou au contraire le type d’ensemble universel.
Autrement dit, si par exemple nous parlons de nombres premiers , l’ensemble complémentaire est celui des nombres non premiers. En même temps, l’ensemble des nombres premiers est le complément des nombres non premiers.
Quelle est la différence symétrique entre les ensembles ?
La différence symétrique des ensembles est un ensemble dont les objets font partie d’un ensemble initial, sans avoir rien à voir avec les deux autres ensembles à la fois. Si nous exemplifions cette opération de la théorie des ensembles, nous avons ce qui suit :
{1, 2, 3} et {2, 3, 4, 6, 9, 8} = la différence symétrique serait {1, 4, 6, 9, 8}.
Qu’est-ce que le diagramme de Venn ?
Les graphiques qui font partie du diagramme de Venn sont tous ceux exprimés par une ligne fermée continue. C’est-à-dire des ovales, des triangles, des cercles, entre autres. En général, l’ensemble universel est exprimé sous la forme d’un rectangle. Le reste des ensembles est exprimé géométriquement avec des cercles ou des ovales.
Il est important de garder à l’esprit que ce diagramme n’implique aucune preuve mathématique. Cependant, il est utile d’avoir l’intuition du lien entre un certain ensemble et un autre.
Où s’applique la théorie des ensembles ?
Les domaines d’application de la théorie des ensembles sont nombreux. Il est principalement utilisé dans la formulation de bases logiques géométriques. Cependant, il a d’autres applications telles que la topologie . De manière générale, cette théorie est pertinente en sciences, en mathématiques, en physique, en biologie, en chimie et même en ingénierie.
Pour mieux comprendre la logique mathématique , il est indispensable de bien en connaître cet élément, la théorie des ensembles est l’une des plus importantes. De plus, il n’a pas seulement une application dans les mathématiques, comme nous l’avons bien expliqué auparavant.
Comment parle-t-on de théorie des ensembles dans le langage courant ?
La théorie des ensembles est une partie fondamentale des mathématiques. Mais cela concerne aussi des domaines plus quotidiens qu’opérationnels. Autrement dit, il ne s’agit pas toujours d’ensembles numériques. Dans le langage traditionnel, faire référence à un ensemble est un peu plus complexe.
La raison en est que si l’on veut constituer un groupe des peintres les plus marquants, par exemple, les perceptions seront variées. Par conséquent, le consensus est pratiquement impossible . En bref, il n’est pas si facile de déterminer qui est ou n’est pas dans le groupe en fonction de ses qualités.
Certains de ces ensembles particuliers sont ceux qui sont définis comme des ensembles vides ou qui n’ont pas d’éléments. De plus, nous pourrions être en présence d’ensembles d’un seul élément ou d’unités.
Quelle est l’histoire de la théorie des ensembles ?
La théorie des ensembles surgit en raison des recherches de l’allemand Georg Cantor . Ce personnage était un mathématicien renommé. En fait, à ce jour, il est connu comme le père de cette théorie. Parmi les investigations les plus pertinentes du chercheur figurent les ensembles numériques et infinis.
Les premières recherches de Cantor liées à la théorie des ensembles se situent en 1874. De plus, il est important de mentionner que son travail est resté lié aux recherches de Richard Dedekind , un mathématicien important de l’époque. Même ce dernier a joué un rôle fondamental dans l’étude des nombres naturels.
Quelle est l’importance de la théorie des ensembles ?
L’étude de cette théorie est essentielle pour l’ analyse des probabilités , des mathématiques en tout ce qui les concerne, et des statistiques. Chacune des opérations qui font partie de cette théorie sont utilisées pour réaliser des expériences afin d’obtenir un résultat spécifique.
Les réponses ont toujours à voir avec les circonstances dans lesquelles l’expérience est menée. Pour cette raison, les ensembles jouent un rôle fondamental dans ce type de recherche .