Étymologiquement, quaternions ou quaternions vient du latin quaterni . En espagnol, le mot se traduit par “par quatre”. Cependant, son interprétation signifie “nombre de quatre éléments”.
Les quaternions sont des éléments d’un champ non permutant initialement créé par William Rowan Hamilton. Les quaternions sont définis comme l’extension des nombres réels qui composent une numération hypercomplexe. En fait, ils sont assez similaires aux nombres complexes .
C’est-à-dire que les quaternions se produisent en raison d’une amplification provoquée de manière analogique. D’autre part, les nombres complexes sont produits comme une extension des nombres réels par la somme de l’unité imaginaire i , donc i au carré est égal à -1. Dans le premier cas, les unités imaginaires k , i et j sont ajoutées aux nombres réels.
Par conséquent, par rapport aux quaternions, nous avons que : i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1. Cette représentation correspond à celles disposées dans la table de Cayley . À ce stade, il convient de mentionner que i , j , k et 1 sont les quatre piliers fondamentaux des quaternions.
| × | 1 | Yo | j | quoi |
| 1 | 1 | Yo | j | quoi |
| Yo | Yo | -1 | quoi | -j |
| j | j | -k | -1 | Yo |
| quoi | quoi | j | -Yo | -1 |
William Hamilton a inventé les quaternions en 1843 comme une méthode qui lui permettait de multiplier et de diviser des vecteurs, de les faire pivoter et de les étirer.
Comment sont constitués les quaternions ?
Les quaternions forment une belle algèbre dans laquelle chacun de ses objets contient 4 variables . En fait, ils sont parfois appelés paramètres d’Euler qu’il ne faut pas confondre avec les angles d’Euler. Ces objets peuvent être ajoutés et multipliés comme une seule unité d’une manière similaire à l’algèbre des nombres réguliers.
Cependant, il y a une différence. En termes mathématiques, la multiplication de quaternions n’est pas commutative.
Les quaternions ont 4 dimensions. Chaque quaternion est composé de 4 nombres scalaires , une dimension réelle et 3 dimensions imaginaires. Chacune de ces dimensions imaginaires a une valeur unitaire de la racine carrée de -1. Cependant, ce sont des racines carrées différentes de -1, toutes perpendiculaires les unes aux autres, appelées i , j et k . Ainsi, un quaternion peut être représenté comme suit :
x = (a, b, c, d) qui s’écrit x = a + bi + cj + dk
En conséquence, a, b, c et d représentent des nombres réels définis sans équivoque par chaque quaternion. Par contre, les nombres 1, i , j et k sont basiques. Si nous voulons représenter les quaternions au moyen d’un ensemble, nous pouvons faire ce qui suit : En supposant que IR 4 représente l’ensemble, l’expression est : IR4= {a + bi + cj + dk : a, b, c, d ∈ IR}
Cet ensemble est cohérent avec l’espace réel à quatre dimensions. De la même manière qu’un ensemble de nombres réels correspond à l’espace existant dans une dimension et que l’ensemble de nombres complexes correspond à l’espace à double dimension.
Quelle est la structure algébrique des quaternions ?
Un quaternion illustre un corps irrégulier . Cela signifie qu’il s’agit d’une structure algébrique semblable à un champ. Cependant, il n’est pas commutatif dans la multiplication. Autrement dit, il remplit toutes les qualités d’un corps, mais son résultat n’est pas commutatif.
La multiplication de quaternions est associative. De plus, chaque quaternion non nul a un inverse unique . Les quaternions ne constituent pas une algèbre associative par rapport aux nombres complexes.
Enfin, de la même manière que les nombres complexes et les nombres réels représentent les dimensions vectorielles euclidiennes des espaces unitaires ou doubles, par conséquent, les quaternions créent une zone vectorielle euclidienne à quatre dimensions.
Comment les quaternions sont-ils représentés dans les matrices ?
Les représentations matricielles sont également caractéristiques des quaternions. Dans ce cas, des matrices mathématiques sont appliquées pour son expression. Par exemple, si nous avons le quaternion p = a + bi + cj + dk il est possible de le représenter dans une matrice complexe 2 x 2 comme suit :
Une autre façon d’utiliser les représentations matricielles dans les quaternions consiste à utiliser de vraies matrices 4 x 4 . De plus, en utilisant des matrices pour représenter les quaternions, il est possible de les exprimer comme le produit interne de deux vecteurs. Ainsi, une composante serait : = (a1, a2, a3, a4) et l’autre {1, i, j, k }.
Dans ce cas, l’élément a 1 qui génère la composante réelle est écrit séparément. De plus, pour le produit scalaire seules les trois bases i, j, k sont prises en compte :
x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)
Quelles opérations de base peut-on faire avec des quaternions ?
Pour additionner et obtenir un produit entre un quaternion et un autre, l’arithmétique des nombres complexes est appliquée. Cela fonctionne de la même manière que dans le cas de l’ ensemble précédent IR 4 . C’est-à-dire que ledit ensemble plus le reste des opérations compense toutes les qualités d’un corps. La seule pertinence dans ce cas est que le produit ne fait pas la navette.
En cas d’addition, elle s’effectue terme à terme. Dans tous les cas, cela fonctionne de la même manière que les nombres complexes. C’est-à-dire:
(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.
Pour le produit, il est appliqué de composant à composant . D’après cela, il se présente comme suit :
ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k
Comme nous l’avons déjà souligné précédemment, le produit des quaternions n’est jamais commutatif. Au contraire, il est toujours associatif . Les opérations élaborées précédemment peuvent être réalisées en remplaçant les représentations.
Quelles sont les applications des quaternions ?
Un quaternion va bien au-delà d’une enquête mathématique. Actuellement, ils ont diverses applications. Premièrement, ils servent à vérifier les réponses en théorie des nombres . Un exemple de ceci est le théorème de Lagrange qui stipule que tout nombre naturel est exprimé comme la somme de 4 carrés parfaits.
D’autre part, il a des applications dans le domaine de la physique. Les quaternions sont très utiles pour la mécanique quantique, l’électromagnétisme et bien plus encore.