Binôme au quatrième

Sur cette page vous trouverez la formule d’un binôme à la quatrième, et nous vous expliquons comment résoudre ce type d’opération binomiale avec des exemples. De plus, vous pourrez vous entraîner avec des exercices résolus pas à pas de binômes à la quatrième.

Formule binomiale au quart

En mathématiques, un binôme à la puissance quatre est un polynôme formé de deux termes qui est élevé à la 4ème.

Ainsi, la formule utilisée pour calculer un binôme au quart est la suivante :

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Cette formule peut être dérivée de la formule générale du binôme de Newton . En fait, avec le binôme de Newton, vous pouvez calculer des binômes élevés à n’importe quelle puissance, il est donc préférable d’apprendre la formule du binôme de Newton. Cliquez sur le lien précédent et découvrez à quoi ressemble cette formule.

Par conséquent, un binôme au quatrième est égal au premier terme élevé au quatrième, plus le produit de 4 fois le premier terme au cube et le deuxième terme, plus les premier et deuxième termes au carré multiplié par 6, plus le produit de 4 fois le premier terme multiplié par le deuxième terme élevé au 3, plus le deuxième terme élevé au quatrième.

Cette formule correspond au binôme somme (ses deux éléments sont positifs), mais dans la formule du binôme soustraction élevée au quatrième, les signes des deuxième et quatrième produits sont négatifs :

$(a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4$

Exemples de binômes à la quatrième

Étant donné la formule de ce type de binômes, nous allons voir plusieurs exemples de résolution d’un binôme au quatrième. On va d’abord calculer un binôme positif puis on va résoudre un binôme négatif.

Exemple 1

Calculez le binôme suivant élevé à la quatrième :

$(x+2)^4$

La formule de la puissance d’un binôme somme élevé au 4ème est :

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Donc pour calculer le binôme de l’exercice il suffit de substituer les deux montants du binôme dans la formule :

$(x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4$

Et enfin on résout les opérations :

$\begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}$

Exemple 2

Trouvez le binôme suivant élevé à la quatrième :

$(x-3)^4$

La formule de potentialisation d’un binôme différence élevé au 4ème est la suivante :

$(a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$

Par conséquent, pour déterminer le binôme du problème, il suffit de substituer les variables de la formule aux valeurs du binôme :

$(x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4$

Et enfin, on résout les opérations résultantes :

$\begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}$

Démonstration de la formule d’un binôme à la quatrième

Pour approfondir le concept de binôme élevé à la quatrième, nous allons démontrer sa formule de plusieurs manières.

A partir de tout binôme élevé à 4 :

$(a+b)^4$

L’expression algébrique d’un binôme à la quatrième peut être factorisée en faisant son développement en facteurs premiers :

$(a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)$

Ainsi, en résolvant chaque produit de polynômes , nous arrivons à la formule du binôme élevé au quatrième :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Par contre, la formule d’un binôme au quatrième peut aussi se vérifier au moyen de la formule d’un binôme au cube :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

De même, la preuve peut être obtenue par des produits notables (ou des identités notables). Par exemple, en utilisant la formule du produit notable du carré d’une somme :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Respectivement, la formule d’identité notable du carré d’une soustraction sert à corroborer la formule d’une soustraction binomiale :

$\begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Exercices résolus de binômes à la quatrième

Résolvez les puissances suivantes des binômes élevés à la quatrième :

$\text{A)} \ (x+1)^4$

$\text{B)} \ (2x+3)^4$

$\text{C)} \ (x-4)^4$

$\text{D)} \ (x^2+y)^4$

voir solution

$\text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex] & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex] & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex] & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex] & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex] & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}$