Transposer la matrice (ou transposer)

Sur cette page nous allons voir comment calculer la matrice de transposition (ou transposition) . Vous verrez également des exercices résolus afin que vous n’ayez aucun doute sur la façon de transposer une matrice.

Comment calculer la matrice transposée (ou transposition) ?

La matrice de transposition , également appelée matrice de transposition, est la matrice obtenue en changeant les lignes en colonnes . La matrice transposée est représentée en mettant un « t » en haut à droite de la matrice (A ^t ).

Par exemple , transposons la matrice suivante :

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 4 & 5 & 0 \end{pmatrix}$

Pour transposer la matrice A il suffit de changer les lignes par les colonnes . Autrement dit, la première ligne de la matrice devient la première colonne de la matrice et la deuxième ligne de la matrice devient la deuxième colonne de la matrice :

$\displaystyle A^t= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 3 & 5 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

Voici plusieurs exemples travaillés sur la façon de trouver la matrice transposée :

Exemples de matrices transposées

Exemple 1

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5\\[1.1ex] 7 & 2 \end{pmatrix}$

voir solution

$\displaystyle B^t= \begin{pmatrix} 1 & 7\\[1.1ex] 5 & 2 \end{pmatrix}$

Exemple 2

$\displaystyle C= \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\[1.1ex] 5 & 3 & 2 \\[1.1ex] 6 & 0 & 9 \end{pmatrix}$

voir solution

$\displaystyle C^t= \begin{pmatrix} -1 & 5 & 6 \\[1.1ex] 4 & 3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 9 \end{pmatrix}$

Exemple 3

$\displaystyle D= \begin{pmatrix} 2 & 6 & -1 \end{pmatrix}$

voir solution

$\displaystyle D^t= \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 6 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

Exemple 4

$\displaystyle E= \begin{pmatrix} 9 & 0 \\[1.1ex] 2 & -1 \\[1.1ex] 5 & 3 \end{pmatrix}$

voir solution

$\displaystyle E^t= \begin{pmatrix} 9 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

L’une des utilisations de la transposition matricielle est de calculer la matrice inverse avec la formule matricielle jointe ou par déterminants . Bien que pour utiliser cette méthode, vous deviez également savoir comment résoudre les déterminants, sur la page liée, vous trouverez une explication de l’ensemble de la procédure et vous pourrez également voir des exemples et des exercices résolus étape par étape.

Propriétés de la matrice transposée

La matrice transposée a les caractéristiques suivantes :

Propriété involutive : La transposée d’une matrice transposée est égale à la matrice d’origine.

$\left(A^t\right)^t = A$

Propriété distributive : ajouter deux matrices puis transposer le résultat revient à transposer d’abord chaque matrice puis à les ajouter :

$\left(A+B\right)^t = A^t+B^t$

Propriété linéaire (produit de matrices) : Multiplier deux matrices puis transposer le résultat équivaut à transposer d’abord chaque matrice puis à les multiplier mais en alternant leur ordre de multiplication :

$\left(A\cdot B\right)^t = B^t\cdot A^t$

Propriété linéaire (constante) : Transposer le résultat du produit d’une matrice par une constante équivaut à multiplier la matrice déjà transposée par la constante .

$\left(c\cdot A\right)^t = c\cdot A^t$

Matrice symétrique : Si la transposée d’une matrice est égale à la matrice sans transposition, on dit que c’est une matrice symétrique :

$\left.\begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix} \right.^t = \begin{pmatrix} 7 & 1 & 3 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 5 \end{pmatrix}$

Propriété antisymétrique : Si lors de la transposition d’une matrice mathématique, nous obtenons la même matrice mais avec tous les éléments changés de signe, il s’agit d’une matrice antisymétrique :

$\left.\begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\[1.1ex] -2 & 0 & 6 \\[1.1ex] -4 & -6 & 0 \end{pmatrix}\right.^t = \begin{pmatrix} 0 & -2 & -4 \\[1.1ex] 2 & 0 & -6 \\[1.1ex] 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}$

Comment calculer la matrice transposée (ou transposition) ?

Exemples de matrices transposées

Exemple 1

Exemple 2

Exemple 3

Exemple 4

Propriétés de la matrice transposée

Leave a Comment Cancel Reply