Comment calculer la matrice inverse -

Sur cette page vous apprendrez ce que c’est et comment calculer l’inverse d’une matrice par la méthode des déterminants (ou matrice adjointe) et par la méthode de Gauss. Vous verrez également toutes les propriétés de la matrice inverse, et vous trouverez également des exemples et des exercices résolus étape par étape pour chaque méthode afin que vous les compreniez parfaitement. Enfin, nous expliquons une formule pour inverser rapidement une matrice 2×2 et même la plus grande utilité de cette opération matricielle : résoudre un système d’équations linéaires.

Quel est l’inverse d’une matrice ?

Être

$A$ une matrice carrée. La matrice inverse de $A$ ça s’écrit $A^{-1}$ , et c’est cette matrice qui satisfait :

$A \cdot A^{-1} = I$

$A^{-1}\cdot A = I$

Où

$I$ est la matrice Identité.

Quand peut-on inverser une matrice et quand ne le peut-on pas ?

Le moyen le plus simple de déterminer l’inversibilité d’une matrice consiste à utiliser son déterminant :

Si le déterminant de la matrice en question est différent de 0, cela signifie que la matrice est inversible. Dans ce cas on dit que c’est une matrice régulière. De plus, cela implique que la matrice est de rang maximum.

En revanche, si le déterminant de la matrice est égal à 0, la matrice ne peut pas être inversée. Et, dans ce cas, on dit qu’il s’agit d’une matrice singulière ou dégénérée.

Principalement, il existe deux méthodes pour inverser n’importe quelle matrice : la méthode des déterminants ou matrice adjointe et la méthode de Gauss. Ci-dessous vous avez l’explication du premier, mais vous pouvez également consulter ci-dessous comment inverser une matrice avec la méthode de Gauss.

Inverser une matrice par la méthode des déterminants (ou par la matrice adjacente)

Pour calculer l’ inverse d’une matrice ,

$\displaystyle A^{-1}$ , la formule suivante doit être appliquée :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Où:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$ est le déterminant de la matrice $A$
$\text{Adj}(A)$ est la matrice adjointe de $A$
L’exposant $\bm{t}$ indique la transposition de la matrice, c’est-à-dire que la matrice attachée doit être transposée.

Commentaire : Certains livres utilisent une formule matricielle inverse légèrement différente : ils transposent d’abord la matrice A puis calculent sa matrice adjointe, au lieu de calculer d’abord la matrice adjointe puis de la transposer. En réalité, l’ordre n’a pas d’importance car le résultat est exactement le même. Nous vous laissons ici la formule pour inverser une matrice modifiée au cas où vous préféreriez utiliser celle-ci :

formule de la matrice inverse avec la matrice adjointe de la transposée

Nous allons ensuite voir comment trouver l’inverse d’une matrice en résolvant un exercice à titre d’exemple :

Exemple de calcul de la matrice inverse par la méthode des déterminants (ou matrice adjointe) :

Calculez l’inverse de la matrice suivante :

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

Pour déterminer l’inverse de la matrice, il faut appliquer la formule suivante :

Mais si le déterminant de la matrice est nul cela signifie que la matrice n’est pas inversible. Par conséquent, la première chose à faire est de calculer le déterminant de la matrice et de vérifier qu’il est différent de 0 :

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -4- (-6) = 2$

Le déterminant n’est pas 0 , donc la matrice est inversible .

Par conséquent, en substituant la valeur du déterminant dans la formule, l’inverse de la matrice sera :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Il faut maintenant calculer la matrice adjointe de A. Pour ce faire, il faut remplacer chaque élément de la matrice A par son adjoint.

N’oubliez pas que pour calculer l’ attachement de

$a_{ij}$ , c’est-à-dire de l’élément row $i$ et de la colonne $j$ , la formule suivante doit être appliquée :

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Où le mineur complémentaire de

$a_{ij}$ est le déterminant de la matrice éliminant la ligne $i$ et la colonne $j$ .

Ainsi, les adjoints des éléments de la matrice A sont :

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) = \bm{-1}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Commentaire : Ne confondez pas le déterminant 1×1 avec la valeur absolue, car dans le déterminant 1×1 le nombre n’est pas converti en positif.

Une fois les adjoints calculés, il suffit de remplacer les éléments de A par leurs adjoints pour trouver la matrice adjointe de A :

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}$

Commentaire : à certains endroits la matrice adjointe est la transposée de la matrice adjointe que nous avons définie ici.

Par conséquent, nous substituons la matrice ci-jointe dans la formule matricielle inverse et elle devient :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix} ^{\bm{t}}$

L’exposant

$\bm{t}$ Cela nous dit qu’il faut transposer la matrice . Et pour transposer une matrice il faut changer ses lignes en colonnes , c’est-à-dire que la première ligne de la matrice devient la première colonne de la matrice, et la deuxième ligne devient la deuxième colonne :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] -3 & 4 \end{pmatrix}$

Et enfin, on multiplie chaque terme de la matrice par

$\cfrac{1}{2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{2}{2} \\[1.1ex] \sfrac{-3}{2} & \sfrac{4}{2} \end{pmatrix}$

exercice résolu matrice inverse par déterminants 2x2

Exercices résolus sur les matrices inverses avec la méthode des déterminants (ou la matrice attenante)

Exercice 1

Inversez la matrice suivante de dimension 2×2 par la méthode de la matrice adjointe :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{pmatrix}$

Voir la solution

La formule matricielle inverse est :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

On calcule d’abord le déterminant de la matrice :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{vmatrix} = 7-6 = 1$

Le déterminant est différent de 0, donc la matrice peut être inversée.

Calculons maintenant la matrice adjointe de A :

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}$

Une fois le déterminant de la matrice et son adjoint calculés, on substitue leurs valeurs dans la formule :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

On transpose la matrice ci-jointe :

$\displaystyle A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

La matrice inverse de A est donc :

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{1} \end{pmatrix}$

Exercice 2

Inversez la matrice carrée suivante par la méthode des déterminants :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{pmatrix}$

Voir la solution

La formule matricielle inverse est :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

On calcule d’abord le déterminant de la matrice :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4\end{vmatrix} = -12+10 = -2$

Le déterminant est différent de 0, donc la matrice peut être inversée.

Calculons maintenant la matrice adjointe de A :

$\text{Adjunto de -3} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 5\end{vmatrix} = -1 \cdot 5 = \bm{-5}$

$\text{Adjunto de 5} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}$

Une fois le déterminant de la matrice et son adjoint trouvés, on substitue leurs valeurs dans la formule :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

On transpose la matrice ci-jointe :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -5 & -3 \end{pmatrix}$

On multiplie chaque élément par

$\cfrac{1}{-2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{4}{-2} & \cfrac{2}{-2} \\[3ex] \cfrac{-5}{-2} & \cfrac{-3}{-2} \end{pmatrix}$

La matrice inverse de A est donc :

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{-1} \\[2ex] \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} & \cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}$

Exercice 3

Inversez la matrice suivante de dimension 3×3 par la méthode de la matrice adjointe :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3\end{pmatrix}$

Voir la solution

La formule matricielle inverse est :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Nous résolvons d’abord le déterminant de la matrice avec la règle de Sarrus :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3 \end{vmatrix} = -24+6-2+16-2+9 = 3$

Le déterminant est différent de 0, donc la matrice peut être inversée.

Une fois le déterminant résolu, on trouve la matrice adjointe de A :

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4&1\\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-13) = \bm{-13}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&-3\end{vmatrix} = -1 \cdot (-5) = \bm{5}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1&4\\[1.1ex] 2&1 \end{vmatrix} = 1\cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2 \\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-7) = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 2&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 2&1\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2\\[1.1ex] 4&1\end{vmatrix} = 1 \cdot 11 = \bm{11}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 1&1\end{vmatrix} = -1 \cdot 4 = \bm{-4}$

$\text{Adjunto de -3} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 1&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 = \bm{5}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

Une fois que l’on a calculé le déterminant de la matrice et son adjoint, on substitue leurs valeurs dans la formule :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

On transpose la matrice ci-jointe :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 7 & 11 \\[1.1ex] 5 & -2 & -4 \\[1.1ex] -7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Et la matrice inversée A est :

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \sfrac{\bm{-13}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{11}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-2}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-4}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{-7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{4}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}}\end{pmatrix}$

Exercice 4

Inversez la matrice d’ordre 3 suivante par la méthode de la matrice adjointe :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1\end{pmatrix}$

Voir la solution

La formule matricielle inverse est :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Nous devons d’abord calculer le déterminant de la matrice, car si le déterminant est 0, cela signifie que la matrice n’a pas d’inverse.

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1 \end{vmatrix} = 12+30+8+9-64+5 = \bm{0}$

Le déterminant de A est 0, la matrice ne peut donc pas être inversée.

Exercice 5

Inversez la matrice carrée 3 × 3 suivante par la méthode de la matrice des déterminants :

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2\end{pmatrix}$

Voir la solution

La formule matricielle inverse est :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Tout d’abord on résout le déterminant de la matrice avec la règle de Sarrus :

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2+0-12-3-0+16 = 3$

Le déterminant est différent de 0, donc la matrice peut être inversée.

Une fois le déterminant résolu, on trouve la matrice adjointe de A :

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-0) = \bm{2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 4} = (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (-4-0) = \bm{4}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -3} = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(4-(-1)\bigr) = \bm{5}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (8-6) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-3) = \bm{-1}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 0} = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} \bigl(-2-(-4)\bigr) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -1} = (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(0-(-3)\bigr) = \bm{3}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0-6) = \bm{6}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 2} = (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(1-(-8)\bigr) = \bm{9}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

Une fois que l’on a calculé le déterminant de la matrice et son adjoint, on substitue leurs valeurs dans la formule :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9\end{pmatrix}^{\bm{t}}$

On transpose la matrice ci-jointe :

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 & 6 \\[1.1ex] 5 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

Et enfin, nous opérons :

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{2}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{3}{3} \\[1.1ex] \sfrac{4}{3} & \sfrac{-1}{3} & \sfrac{6}{3} \\[1.1ex] \sfrac{5}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{9}{3} \end{pmatrix}$

exercice résolu étape par étape de la matrice inverse par la méthode de la matrice adjointe 3x3

Inverser une matrice par la méthode de Gauss :

Pour calculer l’inverse d’une matrice avec la méthode de Gauss , il faut effectuer des opérations sur les lignes d’une matrice (nous le verrons plus loin). Alors avant de voir comment utiliser la méthode de Gauss, il est important que vous connaissiez toutes les opérations que l’on peut faire sur les lignes des matrices :

Transformations de lignes autorisées dans la méthode de Gauss

Changez l’ordre des lignes de la matrice.

Par exemple, on peut changer l’ordre des lignes 2 et 3 d’une matrice :

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \end{array} \right)$

Multipliez ou divisez tous les termes d’une ligne par un nombre autre que 0.

Par exemple, nous pouvons multiplier la ligne 1 par 4 et diviser la ligne 3 par 2 :

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 2 & -4 & -2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{4 f_1} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -8 & 12 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right)$

Remplacez une ligne par la somme de la même ligne plus une autre ligne multipliée par un nombre.

Par exemple, dans la matrice suivante, nous ajoutons la ligne 3 multipliée par 1 à la ligne 2 :

$\left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 2 & 4 & 1 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 1\cdot f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 3 & 2 & 4 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right)$

Exemple de calcul de la matrice inverse par la méthode de Gauss :

Voyons avec un exemple comment appliquer la méthode de Gauss pour inverser une matrice :

Calculez l’inverse de la matrice suivante :

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\[2ex] 0 & 2 & 1 \\[2ex] 1 & 5 & 4 \end{array} \right)$

La première chose que nous devons faire est de regrouper la matrice A et la matrice Identité en une seule matrice . La matrice A à gauche et la matrice Identité à droite :

$\displaystyle \bigl( A \ \lvert \ I \bigr)$

exercice résolu étape par étape de matrice inverse par la méthode 3x3 Gauss

Pour calculer la matrice inverse, nous devons convertir la matrice de gauche en matrice identité. Et, pour ce faire, nous devons appliquer des transformations aux lignes jusqu’à ce que nous y parvenions.

Nous procéderons par colonnes, c’est-à-dire que nous effectuerons des opérations sur les lignes pour transformer d’abord les nombres de la première colonne, puis ceux de la deuxième colonne, et enfin ceux de la troisième colonne.

Les 1 et 0 dans la première colonne conviennent déjà, puisque la matrice d’identité a également un 1 et un 0 à ces positions. Par conséquent, il n’est pas nécessaire d’appliquer une transformation à ces lignes pour le moment.

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Cependant, la matrice identité a un 0 dans le dernier élément de la première colonne, là où nous avons maintenant un 1. Il faut donc convertir le 1 en 0. Pour ce faire, on ajoute la ligne 1 multipliée par – à la ligne 3. 1:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \\ + & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ \hline & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Donc si on fait cette somme on se retrouve avec la matrice suivante :

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Nous avons ainsi réussi à transformer le 1 en 0.

Passons maintenant à la deuxième colonne de la matrice de gauche. Le premier élément est un 0, ce qui est bien car la matrice d’identité a un 0 à cette même position. Cependant, au lieu d’un 2, il devrait y avoir un 1, nous divisons donc la deuxième ligne par 2 :

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2/2}\\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

De plus, dans la deuxième colonne, nous devons également transformer le 5 en 0. Eh bien, comme le 5 est cinq fois plus grand que le 1 dans la deuxième ligne, nous ajouterons la ligne 2 multipliée par -5 à la ligne 3 :

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \\ + & 0 & -5 & \sfrac{-5}{2} & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-5}{2} & 0 \\ \hline & 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} \vphantom{\Bigl(} & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -5f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Par conséquent, en effectuant cette opération, nous nous retrouvons avec la matrice avec un 0 dans le dernier élément de la deuxième colonne :

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 5f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)$

Enfin, nous allons transformer la dernière colonne de la matrice à gauche, mais cette fois il faut commencer par le bas. Il faut donc transformer le

$\sfrac{1}{2}$ en un 1. Par conséquent, nous multiplions la dernière ligne par 2 :

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)\begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{2f_3} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Il faut maintenant transformer le

$\sfrac{1}{2}$ reste de la dernière colonne en 0. Cependant, cette fois, nous ne pouvons pas multiplier la ligne par 2, car nous convertirions également le 1 en 2 (lorsque la matrice d’identité a un 1 à cette position). Par conséquent, nous ajouterons la ligne 3 divisée par -2 à la ligne 2 :

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 0 & 1 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\ + & 0 & 0 &\vphantom{\Bigl(} -\sfrac{1}{2} & 1 & \sfrac{5}{2} & -1 \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0} & 1 & 3 \vphantom{\Bigl(} & -1 \end{array} \begin{array}{l}\vphantom{\Bigl(} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_3/(-2)}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Donc en faisant cette opération on arrive à transformer le

$\sfrac{1}{2}$ dans un 0 :

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Finalement, il suffit de transformer le 1 de la première ligne de la troisième colonne en 0. La troisième ligne a également un 1 dans cette même colonne, nous ajouterons donc la ligne 3 multipliée par -1 à la ligne 1 :

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 0 & -1 & 2 & 5 & -2 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 3 & 5 & -2 \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\\ \phantom{hline} \end{array}$

Et en faisant cette opération on arrive à convertir le 1 en un 0 :

$\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 &0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 3 & 5 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Une fois que l’on a réussi à convertir la matrice de gauche en matrice identité, on connaît aussi la matrice inverse. Parce que la matrice inverse est la matrice que l’on obtient du côté droit en convertissant la matrice de gauche en matrice identité . L’inverse de la matrice est donc :