Matrice complémentaire mineure, adjointe et adjointe

Dans cette section, nous verrons ce qu’ils sont et comment calculer un mineur complémentaire, un adjoint et la matrice adjointe . De plus, vous trouverez des exemples, pour que vous compreniez parfaitement, et des exercices résolus étape par étape, pour que vous puissiez vous entraîner.

Qu’est-ce que la mineure complémentaire ?

On l’appelle le mineur complémentaire d’un élément.

$a_{ij}$ au déterminant obtenu en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ d’une matrice.

Comment calculer le mineur complémentaire d’un élément ?

Voyons comment le mineur complémentaire d’un élément est calculé à l’aide de quelques exemples :

Exemple 1:

Calculez le mineur complémentaire de 1 de la matrice carrée 3 × 3 suivante :

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

Le mineur complémentaire de 1 est le déterminant de la matrice qui reste lors de l’élimination de la ligne et de la colonne où se trouve le 1. C’est-à-dire en supprimant la première ligne et la deuxième colonne :

$\left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}$

Exemple 2 :

Cette fois nous allons calculer le mineur complémentaire de 0 de la même matrice que précédemment :

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

Le mineur complémentaire de 0 est le déterminant de la matrice en supprimant la ligne et la colonne où le 0 est :

$\left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 & 8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 0} = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}$

Exercices résolus des mineurs complémentaires

Exercice 1

Calculez le plus petit complémentaire de 3 de la matrice 3×3 suivante :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

voir solution

Le mineur complémentaire de 3 est le déterminant de la matrice qui reste après suppression de la ligne et de la colonne où le 3 est :

$\text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}$

Exercice 2

Trouver la mineure complémentaire de 5 de la matrice d’ordre 3 suivante :

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

voir solution

Le mineur complémentaire de 5 est le déterminant de la matrice que l’on obtient en supprimant la ligne et la colonne où le 5 est :

$\text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}$

Exercice 3

Calculez le mineur complémentaire de 6 de la matrice 4×4 suivante :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

voir solution

La mineure complémentaire de 6 est le déterminant de la matrice qui reste après suppression de la ligne et de la colonne où le 6 est :

$\text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}$

On résout le déterminant avec la règle de Sarrus :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}$

Qu’est-ce que l’adjoint d’un élément d’un tableau ?

L’ adjoint de

$a_{ij}$ , c’est-à-dire de l’élément de ligne $i$ et de la colonne $j$ , s’obtient avec la formule suivante :

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Comment obtenir l’adjoint d’un élément d’un tableau ?

Voyons comment se calcule l’adjoint d’un élément à travers plusieurs exemples :

Exemple 1:

Calculer l’ adjoint de 4 de la matrice d’ordre 3 suivante :

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

Le 4 est en ligne 2 et en colonne 1 , donc, dans ce cas

$i = 2$ et $j = 1 :$

$\text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

Et, comme nous l’avons vu précédemment, le mineur complémentaire de 4 est le déterminant de la matrice, éliminant la ligne et la colonne où se trouve le 4. Par conséquent :

$\text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 8 & 9 \end{vmatrix}$

Maintenant, nous résolvons le déterminant et trouvons l’adjoint de 4 :

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot} (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

Rappelez-vous qu’un nombre négatif élevé à un exposant pair est positif. Par conséquent, si le -1 est élevé à un nombre pair, il deviendra positif.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}$

En revanche, si un nombre négatif est élevé à un exposant impair, il est négatif. Par conséquent, si le -1 est élevé à un nombre impair, il sera toujours négatif.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}$

Exemple 2 :

On va trouver l’ adjoint de 5 de la même matrice que précédemment :

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5$

$\text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}$

Exemple 3 :

Faisons l’ adjoint de 3 de la même matrice :

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3$

$\text{Adjunto de} 3 \displaystyle = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[1.1ex] 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

L’adjoint d’un élément sert à calculer des déterminants, comme nous le verrons plus loin, et à calculer la matrice adjointe, c’est ce que nous allons voir maintenant.

Exercices résolus des adjoints

Exercice 1

Calculez l’adjoint de 2 de la matrice 3×3 suivante :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

voir solution

Pour obtenir le résultat de l’adjoint de 2 il suffit d’appliquer la formule de l’adjoint d’un élément :

$\text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}$

$\text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}$

Exercice 2

Trouver l’adjoint de 4 de la matrice d’ordre 3 suivante :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

voir solution

Pour obtenir l’adjoint de 4, nous devons utiliser la formule de l’adjoint d’un élément :

$\text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}$

$\text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}$

Exercice 3

Trouver l’adjoint de 7 de la matrice 4×4 suivante :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

voir solution

Pour faire l’adjoint de 7 on applique la formule de l’adjoint d’un élément :

$\text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}$

$\text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}$

Nous appliquons la règle de Sarrus pour résoudre le déterminant du troisième ordre :

$\displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]$

$\displaystyle = 1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{-18}$

Quelle est la matrice jointe ?

Le tableau attaché est un tableau dans lequel tous ses éléments ont été remplacés par leurs adjoints.

Comment calculer la matrice adjointe ?

Pour calculer la matrice adjointe , nous devons substituer tous les éléments de la matrice à leurs adjoints.

Voyons comment la matrice jointe est faite à travers un exemple :

Exemple:

Calculer la matrice adjointe de la matrice carrée suivante de dimension 2×2 :

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{pmatrix}$

Pour calculer la matrice adjointe, il faut calculer l’adjoint de chaque élément de la matrice . Par conséquent, nous allons d’abord résoudre les adjoints de tous les éléments avec la formule :

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

$\text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}$

$\text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Maintenant, nous devons simplement substituer chaque élément du tableau

$A$ par son adjoint pour trouver la matrice adjointe de $\bm{A} :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4} \end{pmatrix}$

Et de cette façon l’adjoint d’une matrice est trouvé. Mais vous vous demandez sûrement à quoi servent tous ces calculs ? Eh bien, l’un des utilitaires de la matrice jointe est de calculer l’ inverse d’une matrice . En fait, la méthode la plus courante pour trouver la matrice inverse est la méthode de la matrice adjointe.

Problèmes résolus de matrice adjointe

Exercice 1

Calculez la matrice adjointe de la matrice carrée 2×2 suivante :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -4 & 1 \end{pmatrix}$

voir solution

Pour calculer la matrice adjointe, il faut calculer l’adjoint de chaque élément de la matrice. Par conséquent, nous allons d’abord résoudre les adjoints de tous les éléments avec la formule :

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

Maintenant, nous devons simplement substituer chaque élément du tableau

$A$ par son adjoint pour trouver la matrice adjointe de $A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2} \end{pmatrix}$

Exercice 2

Trouver la matrice adjointe de la matrice du second ordre suivante :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -7 \end{pmatrix}$

voir solution

$\text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}$

Maintenant, nous devons simplement substituer chaque élément du tableau

$A$ par son adjoint pour trouver la matrice adjointe de $A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6} \end{pmatrix}$

Exercice 3

Calculez la matrice adjointe de la matrice 3×3 suivante :

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

voir solution

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}$

$\text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

Maintenant, nous devons simplement substituer chaque élément du tableau

$A$ par son adjoint pour trouver la matrice adjointe de $A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2} \end{pmatrix}$

Qu’est-ce que la mineure complémentaire ?

Comment calculer le mineur complémentaire d’un élément ?

Exemple 1:

Exemple 2 :

Exercices résolus des mineurs complémentaires

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Qu’est-ce que l’adjoint d’un élément d’un tableau ?

Comment obtenir l’adjoint d’un élément d’un tableau ?

Exemple 1:

Exemple 2 :

Exemple 3 :

Exercices résolus des adjoints

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Quelle est la matrice jointe ?

Comment calculer la matrice adjointe ?

Exemple:

Problèmes résolus de matrice adjointe

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

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