Discussion des systèmes d'équations avec paramètres -

Sur cette page nous allons voir comment discuter et résoudre un système d’équations avec paramètres . De plus, vous trouverez des exemples et des exercices résolus de systèmes d’équations linéaires pour vous entraîner.

D’autre part, pour analyser des systèmes d’équations linéaires, il est important que vous sachiez ce qu’est la règle de Cramer et ce qu’est le théorème de Rouché – Frobenius , car nous les utiliserons constamment.

Exemple de système d’équations linéaires avec paramètres

Discutez et résolvez le système d’équations suivant en fonction du paramètre m :

$\begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+my+2z=0 \\[1.5ex] 3x+mz = 4\end{cases}$

On fait tout d’abord la matrice A et la matrice étendue A’ du système :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & m & 4 \end{array} \right)$

Maintenant, nous résolvons le déterminant de A en utilisant la règle de Sarrus, pour voir de quel rang est la matrice :

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} & =m^2+6+0-6m-0+m \\ & = m^2-5m+6 \end{aligned}$

Donc le résultat du déterminant de A dépend de la valeur de m . Nous allons donc voir pour quelles valeurs de m le déterminant s’annule. Pour ce faire, nous fixons le résultat égal à 0 :

$\displaystyle m^2-5m+6 = 0$

Et nous résolvons l’équation quadratique avec la formule :

$\displaystyle m = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle m = \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \cfrac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} =\cfrac{5 \pm 1}{2} = \begin{cases} \bm{m = 3} \\[2ex] \bm{m =2} \end{cases}$

Donc, lorsque m est égal à 2 ou 3, le déterminant de A sera 0. Et lorsque m est différent de 2 et différent de 3, le déterminant de A sera différent de 0.

Il faut donc analyser chaque cas séparément :

m≠3 et m≠2 :

Comme nous venons de le voir, lorsque le paramètre m est différent de 2 et 3, le déterminant de la matrice A est différent de 0. Donc, le rang de A est 3 .

$\displaystyle rg(A)=3$

De plus, le rang de la matrice A’ est aussi 3 , car à l’intérieur de celle-ci se trouve une sous-matrice 3×3 dont le déterminant est différent de 0. Et elle ne peut pas être de rang 4 puisqu’on ne peut pas faire de déterminant 4×4.

$\displaystyle rg(A')=3$

Alors, puisque le rang de la matrice A est égal au rang de la matrice A’ et au nombre d’inconnues du système (3), par le théorème de Rouché-Frobenius on sait qu’il s’agit d’un Système Déterminé Compatible (SCD) :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Une fois que nous savons que le système est un système compatible déterminé (SCD), nous appliquons la règle de Cramer pour le résoudre. Pour ce faire, rappelons que la matrice A, son déterminant et la matrice A’ sont :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} = m^2-5m+6$

Pour calculer x avec la règle de Cramer, nous changeons la première colonne du déterminant de la matrice A en la colonne des termes indépendants et la divisons par le déterminant de A :

$\displaystyle\bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\[1.1ex]0&m&2 \\[1.1ex] 4 & 0 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6}$

Pour calculer y avec la règle de Cramer, nous changeons la deuxième colonne du déterminant de A en colonne des termes indépendants et la divisons par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}=\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6}$

Pour calculer z avec la règle de Cramer, nous changeons la troisième colonne du déterminant de A en colonne des termes indépendants et la divisons par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6}$

Par conséquent, la solution du système d’équations pour le cas m≠3 et m≠2 est :

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{2m^2+8-8m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{y=} \cfrac{\bm{-4+2m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{-2m+4}}{\bm{m^2-5m+6}}$

Comme vous pouvez le voir, dans ce cas, la solution du système d’équations est une fonction de m.

Une fois que nous avons trouvé la solution quand m est différent de 2 et 3, nous allons résoudre le système pour quand m est égal à 2 :

m=2 :

Nous allons maintenant analyser le système lorsque le paramètre m vaut 2. Dans ce cas les matrices A et A’ sont :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 & 4 \end{array} \right)$

Comme nous l’avons vu précédemment, lorsque m=2 le déterminant de A est 0. Donc, la matrice A n’est pas de rang 3. Mais à l’intérieur elle a 2×2 déterminants différents de 0, par exemple :

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0$

Donc, dans ce cas , le rang de A est 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Une fois que nous connaissons le rang de la matrice A, nous calculons le rang de A’. Le déterminant des 3 premières colonnes donne 0, donc on essaie les autres déterminants 3×3 possibles dans la matrice A’ :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 4 \end{vmatrix}=0\qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}=0$

Tous les déterminants possibles de dimension 3×3 donnent 0. Mais, évidemment, la matrice A’ a le même déterminant 2×2 non-0 que la matrice A :

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0$

Donc, la matrice A’ est aussi de rang 2 :

$\displaystyle rg(A')=2$

Donc, puisque le rang de la matrice A est égal au rang de la matrice A’ mais que ces deux sont plus petits que le nombre d’inconnues du système (3), on sait par le théorème de Rouché-Frobenius qu’il s’agit d’un Compatible Indéterminé Système (ICS) :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Puisqu’il s’agit d’un SCI, nous devons transformer le système pour le résoudre. Pour cela, il faut d’abord éliminer une équation du système, dans ce cas on supprimera la dernière équation :

$\begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x+2z = 4} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0\end{cases}$

Convertissons maintenant la variable z en λ :

$\begin{cases}x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} x+y+2\lambda= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2\lambda=0\end{cases}$

Et on met les termes avec λ avec les termes indépendants :

$\begin{cases}x+y=2-2\lambda \\[1.5ex] -x+2y=-2\lambda \end{cases}$

Donc, la matrice A et la matrice A’ du système restent :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] -1 & 2 & -2\lambda \end{array} \right)$

Enfin, une fois que nous avons transformé le système, nous appliquons la règle de Cramer . Pour ce faire, on résout d’abord le déterminant de A :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2\end{vmatrix} =2-(-1)=3$

Pour calculer x avec la règle de Cramer, nous changeons la première colonne du déterminant de A en la colonne des termes indépendants et la divisons par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 -2\lambda & 1 \\[1.1ex] -2\lambda & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{4-4\lambda-(-2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{4-2\lambda}}{\bm{3}}$

Pour calculer y avec la règle de Cramer, nous changeons la deuxième colonne du déterminant de A en colonne des termes indépendants et la divisons par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] -1 & -2\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}=\cfrac{-2\lambda -(-2+2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{2-4\lambda} }{\bm{3}}$

Si bien que lorsque m=2 la solution du système d’équations est une fonction de λ, puisque c’est un SCI et donc il a des solutions infinies :

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{4-2\lambda}}{\bm{3}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{2-4\lambda}}{\bm{3}} \qquad \bm{z=\lambda}$

Nous avons déjà analysé la solution du système lorsque le paramètre m est différent de 2 et 3, et lorsqu’il est égal à 2. Nous n’avons donc plus besoin que du dernier cas : lorsque m prend la valeur de 3 :

m=3 :

Nous allons maintenant analyser ce qui se passe lorsque le paramètre m vaut 3. Dans ce cas les matrices A et A’ sont :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 & 4 \end{array} \right)$

Comme nous l’avons vu précédemment, lorsque m=3 le déterminant de A est 0. Donc la matrice A n’est pas de rang 3. Mais à l’intérieur elle a 2×2 déterminants différents de 0, par exemple :

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - (-1)=4 \neq 0$

Donc, dans ce cas , le rang de A est 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Une fois que nous connaissons le rang de la matrice A, nous calculons le rang de A’. Le déterminant des 3 premières colonnes donne 0, on essaie donc un autre déterminant 3×3 qui est à l’intérieur de la matrice A’, par exemple celui des 3 dernières colonnes :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 4\end{vmatrix}=2$

Par contre, la matrice A’ contient bien un déterminant dont le résultat est différent de 0, donc la matrice A’ est de rang 3 :

$\displaystyle rg(A')=3$

Ainsi, lorsque m = 3, le rang de la matrice A est inférieur au rang de la matrice A’. Ainsi, du théorème de Rouché-Frobenius, on déduit que le système est un Système Incompatible (SI) :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas}=3\end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A)=2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Par conséquent, le système d’équations n’a pas de solution lorsque m = 3.

Résumé de l’exemple :

Comme nous l’avons vu, la solution du système d’équations dépend de la valeur du paramètre m . Voici le résumé de tous les cas possibles :

m≠3 et m≠2 :

$\displaystyle \bm{SCD} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] y =\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] z = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6} \end{cases}$

m=2 :

$\displaystyle \bm{SCI} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{4-2\lambda}{3} \\[3.5ex] y= \cfrac{2-4\lambda}{3} \\[3.5ex] z = \lambda \end{cases}$

m=3 :

$\displaystyle \bm{SI} \longrightarrow$ Le système n’a pas de solution.

Ici, nous avons fait tout le processus en utilisant le théorème de Rouché et la règle de Cramer, mais les systèmes d’équations avec paramètres peuvent également être discutés et résolus par la méthode de Gauss (avec exercices) . Vous pouvez en savoir plus sur cette méthode sur la page liée, où vous trouverez une explication détaillée de la procédure ainsi que des exemples et des exercices résolus étape par étape.

Problèmes résolus de discussion de systèmes d’équations linéaires avec paramètres

Exercice 1

Discutez et résolvez le système suivant d’équations linéaires dépendant de paramètres :

exercice résolu de systèmes d'équations à paramètres

voir solution

On fait tout d’abord est la matrice A et la matrice étendue A’ du système :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)$

Il faut maintenant trouver le rang de la matrice A. Pour cela, on vérifie si le déterminant de toute la matrice est différent de 0 :

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{vmatrix} & =-4m+9-2-3-24-m \\ & =-5m-20 \end{aligned}$

Le résultat du déterminant de A dépend de la valeur de m. Nous allons donc voir pour quelles valeurs de m le déterminant s’annule. Pour ce faire, nous égalons le résultat obtenu à 0 et résolvons l’équation :

$-5m-20 = 0$

$-5m = 20$

$m = \cfrac{20}{-5} = -4$

Donc, quand m vaut -4, le déterminant de A sera 0. Et quand m est différent de -4, le déterminant de A sera différent de 0. Il faut donc analyser chaque cas séparément :

m≠-4 :

Comme nous venons de le voir, lorsque le paramètre m est différent de -4, le déterminant de la matrice A est différent de 0. Donc, le rang de A est 3.

$\displaystyle rg(A)=3$

De plus, le rang de la matrice A’ est aussi 3, car à l’intérieur de celle-ci se trouve une sous-matrice 3×3 dont le déterminant est différent de 0. Et elle ne peut pas être de rang 4 puisqu’on ne peut pas faire de déterminant 4×4.

$\displaystyle rg(A')=3$

Par conséquent, en appliquant le théorème de Rouché-Frobenius, nous savons qu’il s’agit d’un système compatible déterminé (SCD), car la plage de A est égale à la plage de A’ et au nombre d’inconnues.

Une fois que nous savons que le système est un SCD, nous appliquons la règle de Cramer pour le résoudre. Pour ce faire, rappelons que la matrice A, son déterminant et la matrice A’ sont :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m\end{vmatrix} =-5m-20$

Pour calculer xatex] avec la règle de Cramer, on change la première colonne du déterminant de A par la colonne des termes indépendants et on la divise par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -3 \\[1.1ex] 0 & -2 & -m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Pour calculer l’inconnue et avec la règle de Cramer, on change la deuxième colonne du déterminant de A par la colonne des termes indépendants et on la divise par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 & -3 \\[1.1ex] 3 & 0 & -m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Pour calculer z avec la règle de Cramer, nous changeons la troisième colonne du déterminant de A en colonne des termes indépendants et la divisons par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}4 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Par conséquent, la solution du système d’équations pour le cas m≠-4 est :

x=0 y=0 z=0

m=-4 :

Nous allons maintenant analyser le système lorsque le paramètre m vaut -4. Dans ce cas les matrices A et A’ sont :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 & 0\end{array} \right)$

Comme nous l’avons vu précédemment, lorsque m=-4 le déterminant de A est 0. Donc, la matrice A n’est pas de rang 3. Mais à l’intérieur elle a 2×2 déterminants différents de 0, par exemple :

$\displaystyle \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0$

Comme la matrice a un déterminant d’ordre 2 différent de 0, la matrice A est de rang 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Une fois que nous connaissons le rang de A, nous calculons le rang de A’. On sait déjà que le déterminant des 3 premières colonnes donne 0, on essaie donc les autres déterminants 3×3 possibles :

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 0\end{vmatrix} = 0$

Tous les déterminants 3×3 de la matrice A’ sont 0, donc la matrice A’ ne sera pas non plus de rang 3. Cependant, à l’intérieur elle a bien des déterminants d’ordre 2 différents de 0. Par exemple :

$\displaystyle \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0$

Donc la matrice A’ sera de rang 2 :

$\displaystyle rg(A')=2$

L’étendue de la matrice A est égale à l’étendue de la matrice A’ mais ces deux sont plus petites que le nombre d’inconnues dans le système (3), donc, d’après le théorème de Rouché-Frobenius, c’est un Système Compatible Indéterminé (ICS) :

C’est un système SCI, nous devons donc transformer le système pour le résoudre. Nous éliminons d’abord une équation, qui dans ce cas sera la dernière:

$\begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x-2y+4z = 0} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0\end{cases}$

Convertissons maintenant la variable z en λ :

$\begin{cases}4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 4x-y+\lambda= 0 \\[1.5ex] x+y-3\lambda=0\end{cases}$

Et on met les termes avec λ avec les termes indépendants :

$\begin{cases} 4x-y=-\lambda \\[1.5ex] x+y=3\lambda \end{cases}$

De telle sorte que la matrice A et la matrice A’ du système restent :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 4 & -1 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 1 & 3\lambda \end{array} \right)$

Enfin, une fois que nous avons transformé le système, nous appliquons la règle de Cramer. Pour ce faire, on résout d’abord le déterminant de A :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} = 4-(-1)=5$

Pour calculer x avec la règle de Cramer, nous changeons la première colonne du déterminant de A en la colonne des termes indépendants et la divisons par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix}-\lambda & -1 \\[1.1ex] 3\lambda & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-\lambda-(-3\lambda)}{5} =\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}$

Pour calculer l’inconnue et avec la règle de Cramer, on change la deuxième colonne du déterminant de A par la colonne des termes indépendants et on la divise par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 3\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{12\lambda-(-\lambda)}{5}=\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}}$

Si bien que lorsque m=-4 la solution du système d’équations est une fonction de λ, puisque c’est un SCI et donc a des solutions infinies :

$\displaystyle \bm{x =}\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}\qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}} \qquad \bm{z=\lambda}$

Exercice 2

Discutez et trouvez la solution du système suivant d’équations linéaires dépendant de paramètres :

exercice résolu pas à pas de système d'équations linéaires avec paramètres

voir solution

La première chose à faire est la matrice A et la matrice étendue A’ du système :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}m & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & m & 3\end{array} \right)$

Il faut maintenant trouver le rang de la matrice A. Pour cela, on vérifie si le déterminant de toute la matrice est différent de 0 :

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix} & =4m^2+4-4-4+4m-4m \\ & =4m^2-4 \end{aligned}$

$4m^2-4 = 0$

$4m^2=4$

$m^2 = \cfrac{4}{4}$

$m^2 = 1$

$m = \pm 1$

Donc, quand m vaut +1 ou -1, le déterminant de A sera 0. Et quand m est différent de +1 et -1, le déterminant de A sera différent de 0. Il faut donc analyser chaque cas par :

m≠+1 et m≠-1 :

Comme nous venons de le voir, lorsque le paramètre m est différent de +1 et -1, le déterminant de la matrice A est différent de 0. Donc, le rang de A est 3.

$\displaystyle rg(A)=3$

$\displaystyle rg(A')=3$

Une fois que nous savons que le système est un SCD, nous appliquons la règle de Cramer pour le résoudre. Pour ce faire, rappelons que la matrice A, son déterminant et la matrice A’ sont :

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix}=4m^2-4$

Pour calculer x avec la règle de Cramer, nous changeons la première colonne du déterminant de A en la colonne des termes indépendants et la divisons par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2& 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & -2 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}}$

Pour calculer l’inconnue et avec la règle de Cramer, on change la deuxième colonne du déterminant de A par la colonne des termes indépendants et on la divise par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 2 \\[1.1ex] 1 & 3 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}$

Pour calculer z avec la règle de Cramer, nous changeons la troisième colonne du déterminant de A en colonne des termes indépendants et la divisons par le déterminant de A :

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}m & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}$

Par conséquent, la solution du système d’équations pour le cas m≠+1 et m≠-1 est :

$\displaystyle \bm{x = }\cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}\qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}$

m=+1 :

Nous allons maintenant analyser le système lorsque le paramètre m vaut 1. Dans ce cas les matrices A et A’ sont :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 & 3\end{array} \right)$

Comme nous l’avons vu précédemment, lorsque m=+1 le déterminant de A est 0. Donc la matrice A n’est pas de rang 3. Mais à l’intérieur elle a 2×2 déterminants différents de 0, par exemple :

$\displaystyle \begin{vmatrix}2 & 4\\[1.1ex] 1 & -2 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0$

Comme la matrice a un déterminant d’ordre 2 différent de 0, la matrice A est de rang 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

Une fois que nous connaissons le rang de A, nous calculons le rang de A’. On sait déjà que le déterminant des 3 premières colonnes donne 0, alors maintenant on essaie, par exemple, avec le déterminant des 3 dernières colonnes :

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 16$

Par contre, la matrice A’ contient bien un déterminant 3×3 dont le résultat est différent de 0, de sorte que la matrice A’ est de rang 3 :

$\displaystyle rg(A')=3$

Ainsi, lorsque m=+1 le rang de la matrice A est plus petit que le rang de la matrice A’. Ainsi, du théorème de Rouché-Frobenius, on déduit que le système est un Système Incompatible (SI) :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Par conséquent, le système d’équations n’a pas de solution lorsque m=+1 , puisqu’il s’agit d’un système incompatible.

m=-1 :

Nous allons maintenant analyser le système lorsque le paramètre m vaut -1. Dans ce cas les matrices A et A’ sont :

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}-1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 & 3\end{array} \right)$

Comme nous l’avons vu précédemment, lorsque m=-1 le déterminant de A est 0. Donc, la matrice A n’est pas de rang 3. Mais à l’intérieur elle a 2×2 déterminants différents de 0, par exemple :

$\displaystyle \begin{vmatrix}-1 & 2\\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0$

Comme la matrice a un déterminant d’ordre 2 différent de 0, la matrice A est de rang 2 :

$\displaystyle rg(A)=2$

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -1 & 3\end{vmatrix} = -20$

Par contre, la matrice A’ contient bien un déterminant 3×3 dont le résultat est différent de 0, de sorte que la matrice A’ est de rang 3 :

$\displaystyle rg(A')=3$

Ainsi, lorsque m = -1, le rang de la matrice A est inférieur au rang de la matrice A’. Ainsi, du théorème de Rouché-Frobenius, on déduit que le système est un Système Incompatible (SI) :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

Par conséquent, le système d’équations n’a pas de solution lorsque m=-1 , puisqu’il s’agit d’un système incompatible.

Discussion des systèmes d’équations avec paramètres

Exemple de système d’équations linéaires avec paramètres

Résumé de l’exemple :

Problèmes résolus de discussion de systèmes d’équations linéaires avec paramètres

Exercice 1

Exercice 2

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