Vecteurs parallèles

Sur cette page vous trouverez tout sur les vecteurs parallèles : ce qu’ils signifient, quand deux vecteurs sont parallèles, comment trouver un vecteur parallèle à un autre vecteur, les propriétés de ce type de vecteur,… De plus, vous pourrez voir plusieurs exemples et exercices résolus de vecteurs parallèles.

Que sont les vecteurs parallèles ?

Les vecteurs parallèles sont les vecteurs qui ont la même direction. Autrement dit, deux vecteurs sont parallèles s’ils sont contenus dans deux lignes parallèles. Par conséquent, deux vecteurs parallèles font entre eux un angle de 0 ou 180 degrés.

Par exemple, les trois vecteurs suivants sont parallèles :

De plus, le parallélisme de deux vecteurs ne dépend que de leur direction. Autrement dit, deux vecteurs seront parallèles s’ils coïncident dans la direction, qu’ils aient la même direction ou la direction opposée. Et la même chose se produit avec le module (ou magnitude), deux vecteurs peuvent avoir des modules différents et être parallèles.

En revanche, lorsque deux vecteurs ont la même direction mais la direction opposée, ils sont appelés vecteurs antiparallèles .

Comment savoir si deux vecteurs sont parallèles ?

Deux vecteurs sont parallèles lorsqu’ils sont proportionnels. Par conséquent, pour savoir si deux vecteurs sont parallèles, nous devons déterminer si leurs composantes respectives sont proportionnelles ou non.

Nous allons voir comment savoir si deux vecteurs sont parallèles à travers deux exercices résolus différents, l’un avec des vecteurs à 2 coordonnées et l’autre avec des vecteurs à 3 coordonnées.

Exemple de vecteurs parallèles au plan (dans R2)

Déterminez si les deux vecteurs suivants sont parallèles :

$\vv{\text{u}}=(-2,4) \qquad\vv{\text{v}}=(1,-2)$

Pour savoir si ce sont vraiment des vecteurs parallèles, il faut voir si leurs coordonnées cartésiennes sont proportionnelles :

$\cfrac{-2}{1} = \cfrac{4}{-2} = -2$

La division des composantes X et des composantes Y entre elles donne le même résultat (-2), donc les deux vecteurs sont proportionnels et donc également parallèles .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}}$

Notez qu’en mathématiques, lorsque deux éléments géométriques sont parallèles, cela est indiqué par deux barres verticales (II).

Exemple de vecteurs parallèles dans l’espace (en R3)

Trouvez si la condition de parallélisme est satisfaite dans les deux vecteurs suivants :

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2) \qquad\vv{\text{v}}=(2,6,4)$

Pour déterminer s’il s’agit bien de vecteurs parallèles, il faut vérifier si les coordonnées des vecteurs sont proportionnelles :

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6} = 0,5 \neq \cfrac{-2}{4} = -0,5$

Les composants X et les composants Y des vecteurs sont proportionnels les uns aux autres car en les divisant, nous obtenons le même résultat, par contre, ils ne sont pas proportionnels au composant Z. Par conséquent, les vecteurs ne sont pas du tout proportionnels et, par conséquent, ils ne sont pas parallèles .

$\vv{\text{u}} \ \cancel{\parallel} \ \vv{\text{v}}$

Comment calculer un vecteur parallèle ?

Pour trouver un vecteur parallèle à un autre vecteur, il suffit de le multiplier par un scalaire (un nombre réel) différent de zéro (0). Il existe donc une infinité de vecteurs parallèles les uns aux autres, puisque le vecteur peut être multiplié par une infinité de nombres.

Par exemple, nous allons calculer plusieurs vecteurs parallèles du vecteur suivant :

$\vv{\text{v}}=(2,4)$

Le résultat de tous les produits suivants sont des vecteurs parallèles au vecteur précédent :

$2\vv{\text{v}}=(4,8)$

$3\vv{\text{v}}=(6,12)$

$-1\vv{\text{v}}=(-2,-4)$

$\displaystyle \frac{1}{2}\vv{\text{v}}=(1,2)$

Propriétés des vecteurs parallèles

Les vecteurs parallèles ont les caractéristiques suivantes :

Propriété réflexive : Chaque vecteur est parallèle à lui-même.

$\vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{v}}$

Propriété symétrique : si un vecteur est parallèle à un autre, ce vecteur est également parallèle au premier. Cette propriété est également possédée par les vecteurs perpendiculaires .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{u}}$

Propriété transitive : si un vecteur est parallèle à un autre vecteur, et que ce deuxième vecteur est parallèle à un troisième vecteur, le premier vecteur est également parallèle au troisième vecteur.

$\left. \begin{array}{c} \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \\[2ex] \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}} \end{array} \right\} \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{w}}$

Le produit scalaire de deux vecteurs parallèles est égal au produit de leurs modules. Vous pouvez vérifier pourquoi cette chose particulière se produit dans les propriétés du produit scalaire .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert$

Deux vecteurs parallèles sont toujours linéairement dépendants. Ce concept est assez important, donc si vous ne le connaissez pas, vous pouvez vous référer à ce que sont deux vecteurs linéairement dépendants .

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ LD$