Sur cette page, vous trouverez l’explication de ce qu’est un trinôme. De plus, vous pourrez voir les différents types de trinômes qui existent et, en plus, toutes les formules liées aux trinômes.
Qu’est-ce qu’un trinôme ?
En mathématiques, la définition d’un trinôme est la suivante :
Un trinôme est un polynôme composé de seulement trois monômes . Autrement dit, un trinôme est une expression algébrique avec seulement 3 termes différents qui sont reliés par un signe plus (+) ou moins (-).
Le mot trinôme vient du grec et est composé de deux composants lexicaux ( tri et nomos ), qui signifient ce qui suit :
- tri : préfixe signifiant 3.
- nomos : signifie partie.
On peut donc en déduire le sens de trinôme : polynôme à trois parties (ou trois monômes).
Par contre, il faut savoir qu’à de nombreuses reprises il est très utile de factoriser un trinôme. Et pour faire la factorisation d’un polynôme il existe plusieurs procédures comme la méthode de multiplication FOIL ou la règle de Ruffini, mais quand c’est un trinôme cela se fait plus rapidement en résolvant une équation. Découvrez cette méthode dans comment factoriser des polynômes de degré 2 .
Exemples de trinômes
Pour finir de comprendre la notion de trinôme, nous allons voir plusieurs exemples de ce type de polynôme :
- Exemple de trinôme du second degré :
- Exemple de trinôme du troisième degré :
- Exemple de trinôme du quatrième degré :
Maintenant que nous savons en quoi consiste un trinôme, nous allons voir les différents types qu’il en existe et comment résoudre facilement des opérations avec des trinômes à l’aide de formules.
trinôme carré parfait
Un trinôme carré parfait , par souci de brièveté aussi appelé TCP , est le trinôme obtenu en mettant au carré un binôme, soit un binôme d’addition, soit un binôme de soustraction.
Par conséquent, un trinôme carré parfait est constitué d’un polynôme à deux carrés parfaits (sa racine carrée est exacte) et d’un autre terme qui est le double produit des bases de ces deux carrés dont le signe peut être positif ou négatif.
D’autre part, il faut tenir compte du fait que le carré d’une somme et le carré d’une différence sont des identités notables (ou des produits notables), ce sont donc deux formules largement utilisées en mathématiques.
Exemple:
Cet exemple est un trinôme carré parfait car dans son expression algébrique il y a deux carrés parfaits, car les racines carrées de
et sur 9 sont exacts :.
Et, de plus, le dernier terme restant du trinôme
Il s’obtient en multipliant les bases des deux carrés précédents entre elles et par 2 :
Ainsi, toute l’identité notable dans cet exercice serait :
Si vous regardez bien, ce que nous venons de faire est de factoriser un trinôme carré parfait, car nous avons réussi à factoriser l’expression du trinôme. Ainsi, ces formules vous aideront à factoriser un trinôme carré parfait, mais si vous êtes intéressé par la factorisation de tout autre type de trinôme, nous vous recommandons de consulter le lien ci-dessus dans la section sur ce qu’est un trinôme (comment factoriser polynômes de degré 2).
trinôme au carré
La formule utilisée pour calculer la puissance d’un trinôme élevé au carré est la suivante :
Un trinôme élevé au carré est égal au carré du premier terme, plus le carré du second terme, plus le carré du troisième terme, plus deux fois le premier terme, plus deux fois le premier terme, plus deux fois le second. le troisième.
Voyons un exemple de calcul du carré d’un trinôme :
Exemple:
- Calculer le trinôme suivant à la puissance 2 :
La formule du carré d’un trinôme est :
Nous devons donc d’abord identifier les valeurs des paramètres
et
de la formule. Dans cet exercice
est
le coefficient
correspond à la
et est le terme indépendant 3 :
![\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-55e06f44486e75e9153a60d36e83bc37_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Et quand on connaît déjà les valeurs, il suffit de substituer ces valeurs dans la formule et de faire les calculs :
trinôme au cube
La formule qui permet de trouver la puissance d’un trinôme élevé au cube est la suivante :
Par exemple, si nous voulons calculer le trinôme suivant à la puissance 3 :
Il faut utiliser la formule du cube d’un trinôme :
La solution au problème serait donc :
![\begin{aligned}\left(x^2+5x-3\right)^3 & = \left(x^2\right)^3+(5x)^3+(-3)^3+3\left(x^2+5x\right)\left(x^2+(-3)\right)\bigl(5x+\left(-3\right)\bigr) \\[2ex] & = x^6+125x^3-27+3\left(x^4+5x^3-3x^2-15x\right)\bigl(5x-3\bigr)\\[2ex] & = x^6+125x^3-27+3\left(5x^5+22x^4-30x^3-66x^2+45x\right) \\[2ex] & = x^6+125x^3-27+15x^5+66x^4-90x^3-198x^2+135x \\[2ex] & = \bm{x^6+15x^5+66x^4+35x^3-198x^2+135x-27}\end{aligned}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e8e31df1b63350a57495a5d29237ff06_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
trinôme du second degré
En algèbre, le trinôme quadratique à une variable peut être résolu avec la célèbre formule d’équation quadratique, qui est :
Ensuite, nous allons résoudre un exercice de trinôme du second degré à titre d’exemple :
En effet, c’est un trinôme du second degré. Il faut donc appliquer la formule de l’équation quadratique :
Il faut maintenant identifier la valeur de chaque inconnue :
est le coefficient du monôme de plus haut degré qui dans ce cas vaut 1, correspond au coefficient du terme intermédiaire qui est -2, et, enfin, représente le terme indépendant qui est -3.
Donc, on applique la formule en substituant les valeurs qui s’y trouvent :
Et, enfin, nous calculons les opérations:
![\displaystyle x=\cfrac{+2 \pm \sqrt{4 +12}}{2} = \cfrac{2\pm \sqrt{16}}{2} = \cfrac{2 \pm 4}{2} = \begin{cases} \cfrac{2+4}{2}=3 \\[4ex] \cfrac{2-4}{2} = -1 \end{cases}](https://mathority.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d1af7ce064d9ce80553bad53c51034ed_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Les solutions de l’équation quadratique sont donc :
