İki düzlemin uzaydaki göreceli konumu

Bu sayfada iki düzlemin (kuru, paralel veya çakışık düzlemler) tüm olası göreceli konumlarını bulacaksınız. Ayrıca iki düzlem arasındaki bağıl konumun nasıl hesaplandığını keşfedecek ve ayrıca örnekleri görerek çözümlü alıştırmalarla pratik yapabileceksiniz.

İki düzlemin göreceli konumları nelerdir?

Analitik geometride iki düzlem arasında yalnızca üç olası göreceli konum vardır: kesen düzlemler, paralel düzlemler ve çakışan düzlemler.

Kesişen Düzlemler : İki düzlem yalnızca bir doğru üzerinde kesişiyorsa kesişiyor demektir.
Paralel Düzlemler : İki düzlem herhangi bir noktada kesişmiyorsa paraleldir.
Çakışmalı Düzlemler : İki düzlemin hepsinin ortak noktaları varsa çakışıktır.

kesişen düzlemler

paralel düzlemler

çakışan uçaklar

İki düzlem arasındaki göreceli konumu bulmanın iki yöntemi vardır: biri iki düzlemin genel denklemlerinin katsayılarından, diğeri ise iki matrisin mertebelerini hesaplayarak. Aşağıda her prosedürün açıklaması bulunmaktadır.

İki düzlemin göreceli konumu katsayılarla nasıl belirlenir

İki düzlem arasındaki göreceli konumun ne olduğunu bilmenin bir yolu, bunların genel (veya örtülü) denklemlerinin katsayılarını kullanmaktır.

O halde iki farklı düzlemin genel (veya örtülü) denklemini düşünün:

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D=0$

$\pi_2 : \ A'x+B'y+C'z+D'=0$

Üç boyutlu uzayda (R3’te) iki düzlem arasındaki göreceli konum, katsayılarının veya parametrelerinin orantılılığına bağlıdır:

parametrelerle iki düzlemin göreceli konumu

Bu nedenle A, B veya C katsayılarından biri diğerleriyle orantılı olmadığında iki düzlem kesişecektir. Öte yandan, yalnızca bağımsız terimler orantılı olmadığında iki düzlem paralel olacaktır. Ve son olarak, iki denklemin tüm katsayıları orantılı olduğunda planlar çakışacaktır.

Örneğin aşağıdaki iki düzlemin göreceli konumunu hesaplayalım:

$\pi_1 : \ 6x-2y+4z+5=0$

$\pi_2 : \ -3x+y-2z+4=0$

Ne tür bir uçak olduğunu bilmek için hangi katsayıların orantılı olduğunu kontrol etmeniz gerekir:

$\cfrac{6}{-3} = \cfrac{-2}{1} =\cfrac{4}{-2} \neq \cfrac{5}{4}$

A, B ve C katsayıları birbirleriyle orantılıdır ancak D katsayısıyla orantılı değildir, dolayısıyla iki düzlem paraleldir .

İki düzlemin göreceli konumu aralıklara göre nasıl hesaplanır?

Belirlenen iki düzlemin göreceli konumunu bilmenin bir başka yolu, söz konusu düzlemlerin katsayılarından oluşan iki matrisin aralığının hesaplanmasından oluşur.

Böylece iki farklı düzlemin genel (veya örtülü) denklemi olalım:

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D=0$

$\pi_2 : \ A'x+B'y+C'z+D'=0$

İki denklemin A, B ve C katsayılarından oluşan matrise A diyoruz:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} A&B&C\\[1.1ex] A&B&C\end{pmatrix}$

Ve A’ matrisi iki denklemin tüm katsayılarını içeren genişletilmiş matris olsun:

$\displaystyle A' =\begin{pmatrix} A&B&C&D\\[1.1ex] A&B&C&D'\end{pmatrix}$

İki düzlemin göreceli konumu, önceki iki matrisin aralıklarına dayanarak bilinebilir:

Göreceli konumların bu iki matrisin mertebelerine bağlı olduğu Rouche-Frobenius toereminden (doğrusal denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir teorem) gösterilebilir. Ancak bu sayfada gösteriyi yapmayacağız çünkü bunu bilmek gerekli değildir ve bu da pek bir şey sağlamaz.

Bunun nasıl yapıldığını görebileceğiniz gibi, aşağıdaki iki düzlem arasındaki göreceli konumu hesaplayacağız:

$\pi_1 : \ 2x+3y-z+1=0$

$\pi_2 : \ 3x-4y+2=0$

Yapılacak ilk şey, A matrisini ve genişletilmiş A’ matrisini iki düzlemin denklemlerinin katsayılarıyla oluşturmaktır:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 2&3&-1\\[1.1ex] 3&-4&0\end{pmatrix} \qquad \qquad A' =\begin{pmatrix} 2&3&-1&1\\[1.1ex] 3&-4&0&2\end{pmatrix}$

Şimdi her matrisin rütbesini hesaplamamız gerekiyor. İlk önce A matrisinin kapsamını determinantlarla buluyoruz:

$rg(A) = \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 3&-4\end{vmatrix} =-17\neq 0$

$rg(A) = 2$

Matris A, determinantı sıfırdan farklı olan 2×2’lik bir alt matris içerir, dolayısıyla bu matris 2. sıralı bir matristir.

Öte yandan A’ matrisinin rütbesinin de hesaplanması gerekir. Ve genişletilmiş A’ matrisinin rütbesi her zaman en azından A matrisininkiyle aynı olacaktır, dolayısıyla bu özel durumda A’ matrisinin rütbesi de 2’ye eşittir.

$rg(A') = 2$

İki matrisin kapsamları eşdeğer ve değeri 2 olduğundan, iki düzlem kesişir .

İki düzlemin göreceli konumuyla ilgili çözülmüş problemler

1. Egzersiz

Aşağıdaki iki düzlemin göreceli konumunu inceleyin:

$\pi_1 : \ x+3y-2z-1=0$

$\pi_2 : \ 3x+9y-6z-3=0$

Çözüme bakın

İki düzlem arasındaki göreceli konumu hesaplamak için iki düzlemin denklem katsayılarının orantılı olup olmadığını göreceğiz:

$\cfrac{1}{3}= \cfrac{3}{9} =\cfrac{-2}{-6} = \cfrac{-1}{-3}$

İki planın örtülü denklemlerinin tüm katsayıları birbiriyle orantılıdır, dolayısıyla bunlar çakışık iki plandır .

Alıştırma 2

Aşağıdaki iki düzlemin göreceli konumunu belirleyin:

$\pi_1 : \ x+3y-z+6=0$

$\pi_2 : \ 2x+3y-2z+8=0$

Çözüme bakın

İki düzlem arasındaki göreceli konumu belirlemek için denklemlerinin katsayılarının orantılılığını analiz edeceğiz:

$\cfrac{1}{2} \neq \cfrac{3}{3} \neq \cfrac{-1}{-2}$

İki düzlemin örtülü denklemlerinin A ve C katsayıları birbirleriyle orantılıdır ancak B katsayısıyla orantılı değildir . Bu nedenle bunlar iki kesen düzlemdir .

Alıştırma 3

Aşağıdaki 2 düzlemin göreceli konumunu bulun:

$\pi_1 : \ 6x-3y-12z+7=0$

$\pi_2 : \ -2x+y+4z-5=0$

Çözüme bakın

İki düzlem arasındaki göreceli konumu belirlemek için iki düzlemin denklem katsayılarının orantılı olup olmadığını kontrol etmek gerekir:

$\cfrac{6}{-2} = \cfrac{-3}{1} =\cfrac{-12}{4} \neq \cfrac{7}{-5}$

İki düzlemin denklemlerinin ilk üç parametresi (A, B ve C) birbirleriyle orantılıdır ancak D parametresiyle orantılı değildir, dolayısıyla iki düzlem paraleldir .

Alıştırma 4

Parametre değerini hesapla

$a$

aşağıdaki iki düzlem paralel olacak şekilde:

$\pi_1 : \ x-3y+5z+3=0$

$\pi_2 : \ 2x-6y+az-3=0$

Çözüme bakın

İki düzlemin paralel olması için denklemlerindeki A, B ve C katsayılarının orantılı olması gerekir. Başka bir deyişle aşağıdaki eşitliğin doğrulanması gerekir:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{-3}{-6} = \cfrac{5}{a}$

Bu özel durumda, birinci planın A ve B katsayıları ikinci planın katsayılarının yarısı kadardır:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{5}{a}$

Bu nedenle yukarıdaki denklemi çözmemiz gerekiyor. Bunu yapmak için iki kesri çaprazlıyoruz:

$1\cdot a=5 \cdot 2$

$\bm{a=10}$

Yani parametrenin değeri

$a$

10’a eşit olmalıdır.

İki düzlemin uzaydaki göreceli konumu

İki düzlemin göreceli konumları nelerdir?

İki düzlemin göreceli konumu katsayılarla nasıl belirlenir

İki düzlemin göreceli konumu aralıklara göre nasıl hesaplanır?

İki düzlemin göreceli konumuyla ilgili çözülmüş problemler

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Alıştırma 4

Yorum bırakın Yanıtı iptal et