Üstel fonksiyonun türevi

Bu yazıda üstel bir fonksiyonun nasıl türetileceğini açıklıyoruz. Üstel türevin formülünü (a tabanı ve e tabanı ile) ve üstel fonksiyonların türevleri için çözülmüş alıştırmaları bulacaksınız.

Üstel fonksiyonun türevine ilişkin kural üssün tabanına bağlıdır , çünkü tabanın herhangi bir sayı (a) mı yoksa e sayısı mı olduğuna bağlı olarak fonksiyon farklı şekilde türetilir. Bu nedenle aşağıda her duruma ayrı ayrı bakacağız ve ardından üstel bir fonksiyonun nasıl türetileceğini tam olarak anlamak için iki formülü özetleyeceğiz.

Üstel fonksiyonun a tabanlı türevi

Üstel fonksiyonun a tabanlı türevi, fonksiyonun çarpımı ile kuvvet tabanının doğal logaritması ve üssün türevine eşittir.

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Örneğin aşağıdaki üstel fonksiyonun türevi:

f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x

Üstel fonksiyonun e tabanlı türevi

Üstel fonksiyonun e tabanlı türevi, aynı fonksiyonun üssün türevi ile çarpımına eşdeğerdir.

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Örneğin, e sayısının 4x’e yükseltilmiş türevi:

f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}

Üstel türev formülü

Gördüğümüz gibi üstel bir fonksiyonun türevi tabanına bağlıdır. Üstel fonksiyonları türetmek için kullanılan iki formül şunlardır:

üstel türev

e’den x’e üstel türev

Üstel türev formülünün ne olduğunu gördükten sonra e’nin x’teki türevinin durumunu analiz edeceğiz çünkü bu ilginç bir durum.

e fonksiyonunun x’e türevi her zaman fonksiyonun kendisiyle sonuçlanır , yani e x fonksiyonunun türevini kaç kere alırsak alalım, her zaman aynı fonksiyonu elde ederiz.

\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}

e fonksiyonunun x’e yükseltilmiş bu özelliği, x’in türevinin 1 olmasından kaynaklanmaktadır. Bu nedenle, türetirken fonksiyonun kendisini her zaman 1 ile çarparız ve sonuç olarak her zaman d’orijin fonksiyonunu elde ederiz.

f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x

Üstel fonksiyonların türevlerinin çözülmüş problemleri

1. Egzersiz

Aşağıdaki üstel fonksiyonu türetin:

f(x)=3^x

Fonksiyon e dışında bir sayıya dayalı olduğundan aşağıdaki formülü kullanmamız gerekir:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Dolayısıyla üstel fonksiyonun 3 tabanındaki türevi şu şekildedir:

f(x)=3^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3^x\cdot \ln(3) \cdot 1=3^x\cdot \ln(3)

Alıştırma 2

Aşağıdaki üstel fonksiyonun türevini hesaplayın:

f(x)=7^{3x^2-4x}

Bu alıştırmadaki fonksiyon e dışında bir sayıya dayalı olduğundan aşağıdaki formülün uygulanması gerekir:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Yani fonksiyonun türevi:

f(x)=7^{3x^2-4x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}\cdot \ln(7) \cdot (6x-4)

Alıştırma 3

Aşağıdaki üstel fonksiyonun e tabanına göre türevini bulun:

f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}

Bu alıştırmadaki fonksiyonun tabanında e sayısı vardır, dolayısıyla aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Üstel fonksiyonun türetilmesi şunu verir:

f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} \cdot 3(5x^2-9x)^2\cdot (10x-9)

Bu türevi çözmek için zincir kuralını kullanmamız gerektiğini unutmayın.

Alıştırma 4

Üs olarak kök içeren aşağıdaki üstel fonksiyonun türevini bulun:

f(x)=9^{\sqrt{5x}}

➤ Bakınız: radikal bir fonksiyonun türevi

Üstelde radikal bir ifade olmasına rağmen, üstel fonksiyonu a tabanından türetmek için yine de kuralı kullanmamız gerekiyor:

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

Dolayısıyla bileşik üstel fonksiyonun türevi şu şekildedir:

f'(x)=9^{\sqrt{5x}}\cdot \ln(9) \cdot \cfrac{5}{2\sqrt{5x}}

Alıştırma 5

Aşağıdaki üstel fonksiyonu e tabanından kesirli bir üstel ile türetin:

f(x)=e^{\frac{x^2}{5-3x}}

➤ Bakınız: fonksiyonların bir bölümünün türevi

Kuvvetin tabanı e sayısıdır, dolayısıyla fonksiyonu bölmek için aşağıdaki kuralı kullanacağız:

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

Bu nedenle üstel fonksiyonun türevi şu şekildedir:

\begin{aligned}f'(x)&=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{2x\cdot (5-3x)-x^2\cdot (-3)}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}\end{aligned}

Yorum bırakın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Scroll to Top