Toplamın farkla çarpımı (dikkate değer özdeşlik)

Bu sayfada toplam ve farkın çarpımının formülünü bulacaksınız. Ayrıca bu dikkat çekici kimlik türünün formülünün uygulama örneklerini görebilecek, hatta adım adım çözülen alıştırmalarla pratik yapabileceksiniz.

Toplamın ve farkın çarpımı nedir?

Matematikte, toplamın farkla çarpımı kavramı, dikkate değer kimlikler veya dikkate değer ürünler olarak da adlandırılan dikkate değer eşitliklerden birini ifade eder.

Daha kesin olarak, toplamın farkla çarpımı ifadesi (a+b)·(ab) biçimindedir; burada (a+b), iki farklı terimin toplamına karşılık gelir ve (ab) farktır. bu aynı iki terimden.

Toplamın farkla çarpımı formülü

Artık toplam çarpı farkın çarpımının matematiksel tanımını bildiğimize göre, bu dikkat çekici özdeşlik türünü çözmek için hangi formülün kullanıldığına bakalım:

Dolayısıyla iki terimin farkının toplamının çarpımı bu terimlerin karelerinin farkına eşittir . Yani iki farklı terimin toplamını aynı iki terimin çıkarılmasıyla çarpmak, her iki terimin karesini alıp çıkarmakla eşdeğerdir.

Bu, kareler farklılıklarının, farkların toplamlarının çarpımına dahil edilebileceği anlamına gelir. Şimdi size karmaşık görünse de, bağlantılı sayfada bu tür polinomları iki basit adımda çarpanlarına ayırmanıza olanak tanıyan bir hileyi açıklıyoruz. Tıklayın ve nasıl yapıldığını öğrenin.

Toplamların farklara göre çarpımlarına örnekler

Toplamın ve farkın çarpımının formülünü öğrendikten sonra, bu dikkat çekici eşitliğin nasıl çözüldüğünü daha iyi anlayabilmeniz için birkaç çözülmüş örnek göreceğiz.

örnek 1

Formülü uygulayarak iki farklı terimin farkının toplamının aşağıdaki çarpımını hesaplayın:

$(x+2)\cdot (x-2)$

Toplamın farkla çarpımı formülü aşağıdaki gibidir:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Yani yapmamız gereken ilk şey parametre değerlerini belirlemektir.

$a$

$b$

formülü. Bu durumda

$a$

değişkene karşılık gelir

$x$

$b$

2 numaraya karşılık gelir.

$\left. \begin{array}{l} (a+b)\cdot (a-b) \\[2ex] (x+2)\cdot (x-2) \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

Artık parametrelerin hangi değerleri aldığını bildiğimize göre

$a$

$b,$

Toplamın çarpımı için formülü farkla uygulayabiliriz:

Gördüğünüz gibi, bir toplamın farkla çarpımı her zaman negatif bir terim verecektir. Ancak bu, bir çıkarma işleminin karesinin dikkate değer özdeşliğiyle karıştırılmamalıdır. Eğer şüpheniz varsa, farkın karesi formülünün ne olduğuna bir göz atmanızı öneririz; burada bu iki dikkat çekici kimlik arasındaki farkların neler olduğunu da öğreneceksiniz.

Örnek 2

Formülü kullanarak iki binom farkının toplamının aşağıdaki çarpımını bulun:

$(3x+5)\cdot (3x-5)$

Toplamın farkla çarpımı formülü aşağıdaki gibidir:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Bu nedenle bu durumda

$a=3x$

$b=5$

. Dolayısıyla toplamı fark formülüne göre uygularsak aşağıdaki cebirsel ifadeyi elde ederiz:

$(3x+5)\cdot (3x-5) = (3x)^2-5^2 = 9x^2-25$

Örnek 3

İki tek terimlinin farkının toplamının aşağıdaki çarpımını formülle çözün:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)$

Çarpma işlemi değişme özelliğine sahip olduğundan, önce farkı sonra da iki miktarın toplamını çarpmak aynı parantezleri tersten çarpmakla eşdeğerdir.

$(4x-2y)\cdot (4x+2y) = (4x+2y)\cdot (4x-2y)$

Bu nedenle, bu durumda çarpım tersine çevrilse de, yani toplama çıkarma işleminden önce sonuç formülle aynı kalır:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

$(a-b)\cdot (a+b) =a^2-b^2$

Yani bu problemde

$a=4x$

$b=2y$

. Ve her bilinmeyenin değerini belirlediğimizde dikkate değer çarpımı hesaplamak için formülü kullanabiliriz:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)= (4x)^2-(2y)^2 = 16x^2-4y^2$

Toplamın fark formülüyle gösterilmesi

Az önce incelediğimiz toplam çarpı fark formülü kolaylıkla gösterilebilir.

Bir toplamın çarpımından herhangi iki terimin çıkarılmasıyla başlarsak:

$(a+b)\cdot (a-b)$

Dağılma özelliğini kullanarak ilk parantezi ikinci parantezle çarpmanız yeterlidir:

$\begin{array}{l}(a+b)\cdot (a-b)= \\[2ex] = a\cdot a +a\cdot (-b) +b \cdot a +b\cdot (-b) =\\[2ex] = a^2 -ab+ba-b^2\end{array}$

Benzer terimleri bir araya topladığımızda ise aşağıdaki ifadeye ulaşıyoruz:

$a^2 -ab+ba-b^2=a^2-b^2$

Bu nedenle, farklara göre dikkate değer toplam çarpımının formülü türetilmiştir:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

Toplamın farka göre çarpımı için çözülmüş alıştırmalar

Aşağıda pratik yapabilmeniz için birkaç adım adım farklarla toplama alıştırmaları hazırladık. Egzersizler en azdan en zora doğru sıralanmıştır, bu nedenle 1 ile başlamanızı, 2 ile devam etmenizi ve en sonunda en zor olan 3’ü yapmanızı öneririz.

⬇⬇Ayrıca aklınıza takılan her türlü soruyu yorumlarda bize bırakabileceğinizi unutmayın!⬇⬇

1. Egzersiz

Aşağıdaki toplamların çarpımlarını farklara göre çözün:

$\text{A)} \ (x+5)(x-5)$

$\text{B)} \ (2x+6)(2x-6)$

$\text{C)} \ (x+7)(x-7)$

$\text{D)} \ (x-4y)(x+4y)$

çözümü gör

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x-5) = \\[2ex] =x^2-5^2=\\[2ex] = \bm{x^2-25}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+6)(2x-6) = \\[2ex] =(2x)^2-6^2=\\[2ex] = \bm{4x^2-36}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(x+7)(x-7) = \\[2ex] =x^2-7^2=\\[2ex] = \bm{x^2-49}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}(x-4y)(x+4y) = \\[2ex] =(x+4y)(x-4y) =\\[2ex] =x^2-(4y)^2=\\[2ex] = \bm{x^2-16y^2}\end{array}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki çarpmaları kareler farkı olarak ifade edin:

$\text{A)} \ \left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right)$

$\text{B)} \ \left(4x-5\right)\left(4x+5\right)$

$\text{C)} \ \left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right)$

$\text{D)} \ \left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right)$

çözümü gör

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right) = \\[2ex] =\left(x^2\right)^2-10^2=\\[2ex] = \bm{x^4-100}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(4x-5\right)\left(4x+5\right) = \\[2ex] =(4x)^2-5^2=\\[2ex] = \bm{16x^2-25}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right) = \\[2ex] =\left(8x^3\right)^2-\left(y^2\right)^2=\\[2ex] = \bm{64x^6-y^4}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}\left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right) = \\[2ex] =\left(2x^3y\right)^2-\left(x^4y^2\right)^2 =\\[2ex] = \bm{4x^6y^2-x^8y^4}\end{array}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki dikkate değer kimlikleri çözümleyin:

$\text{A)} \ \left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right)$

$\text{B)} \ \displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right)$

$\text{C)} \ \left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right)$

çözümü gör

İlk dikkate değer eşitliği çözmek için, karekökün basitleştirdiğini hatırlamanız gerekir:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right) = \\[2ex] =\left(9x^3\right)^2-\left(\sqrt{5x}\right)^2=\\[2ex] = \bm{81x^6-5x}\end{array}$

Farkın ikinci toplamının 2 tek terimlisinin kesirli katsayıları vardır, bu nedenle bu alıştırmayı kesirlerin özelliklerini kullanarak çözmeliyiz:

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right) = \\[4ex] \displaystyle =\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2-\left(\frac{5}{3}x\right)^2=\\[4ex] \displaystyle =\frac{1^2}{2^2}x^4-\frac{5^2}{3^2}x^2=\\[4ex]\displaystyle = \mathbf{\frac{1}{4}}\bm{x^4-}\mathbf{\frac{25}{9}}\bm{x^2} \end{array}$

Son olarak, son dikkate değer eşitlik biraz özeldir çünkü içinde başka bir önemli çarpım (toplamın karesi) bulunur:

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right) = \\[2ex] = \left(6x^4+\left(x^2+1\right)\right)\left(6x^4-\left(x^2+1\right)\right)=\\[2ex]=\left(6x^4\right)^2-\left(x^2+1\right)^2=\\[2ex] =36x^8 - \left(x^4+2x^2+1\right)=\\[2ex] = \bm{36x^8 - x^4-2x^2-1}\end{array}$

Toplamın ve farkın çarpımı nedir?

Toplamın farkla çarpımı formülü

Toplamların farklara göre çarpımlarına örnekler

örnek 1

Örnek 2

Örnek 3

Toplamın fark formülüyle gösterilmesi

Toplamın farka göre çarpımı için çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Yorum bırakın Yanıtı iptal et