Standart veya standart sapma , bireysel veri noktalarının bir veri kümesinin ortalamasından veya ortalamasından ne kadar uzakta olduğunu gösteren istatistiksel bir ölçüdür . Verilerin topluluk ortalamasından ne kadar farklı olduğunu anlamak için kullanılan bir dağılım ölçüsüdür.
Daha karmaşık terimlerle standart veya standart sapma, varyansın kareköküdür . Varyans, her bir veri öğesi ile genel ortalama arasındaki farkların karelerinin ortalaması olarak hesaplanır. Varyansın karekökünün alınması, orijinal verilerle aynı birimlerde olan standart sapmayı verir.
Bunun istatistikte önemli bir ölçü olduğunu belirtmekte fayda var. Bu sayede verinin dağılımını ölçmek ve ortalamaya göre nasıl dağıldığını anlamak mümkün oluyor. Standart sapmanın düşük olması verilerin ortalamaya yakın olma eğiliminde olduğunu gösterir. Öte yandan standart sapmanın yüksek olması verilerin daha yaygın olduğunu veya ortalamadan uzak olduğunu gösterir.
Genel olarak standart sapma, bir kümedeki verilerin değişkenliğini anlamak ve karşılaştırma yapmak için kullanılır.
Standart sapma ne için kullanılır?
Standart sapma, veri analizinde çeşitli uygulamaları olan istatistiksel bir araçtır. En iyi bilinen yardımcı programlardan bazıları şunlardır:
- Dağılım ölçüsü : Bireysel verilerin ortalamadan veya bütünün ortalamasından ne kadar uzakta olduğunu ölçer. Yüksek standart sapma, verilerde daha fazla dağılım veya değişkenlik olduğunu gösterirken, düşük standart sapma, daha az dağılım olduğunu gösterir.
- Veri Kümesi Karşılaştırması – Farklı veri kümeleri arasındaki değişkenliği karşılaştırmak için kullanılabilir. Standart sapması daha büyük olan bir küme, standart sapması daha küçük olan bir kümeye göre daha fazla yayılmış veriye sahip olacaktır.
- Aykırı Değerlerin Belirlenmesi – Bu aynı zamanda bir veri kümesindeki aykırı değerlerin veya uç noktaların belirlenmesine de yardımcı olabilir. Bir veri noktası ortalamadan birkaç standart sapma gösteriyorsa bu, bunun olağandışı veya aykırı bir değer olduğunu gösterebilir.
- Bir Modelin Doğruluğunun Değerlendirilmesi – Bazı durumlarda standart sapma, bir modelin veya tahminin kesinliğinin bir ölçüsü olarak kullanılır. Örneğin çıkarımsal istatistiklerde standart sapma, güven aralıklarını hesaplamak veya hipotez testi gerçekleştirmek için kullanılabilir.
Standart sapmanın özellikleri
Standart sapmanın bahsetmeye değer birkaç önemli özelliği vardır:
- Standart sapma bir mesafe ölçüsü olduğundan her zaman negatif olmayan bir değerdir .
- Setteki tüm veriler aynı değere sahipse standart sapma sıfır olacaktır .
- Aykırı değerlerden etkilenir ve veri kümesinde önemli ölçüde etkilenebilir.
- Verinin ölçeğine duyarlıdır . Veriler büyük ölçekliyse standart sapma da büyük olacaktır ve bunun tersi de geçerlidir.
- Bu, orijinal verilerle aynı birimlerle ifade edildiğinden göreceli dağılımın bir ölçüsüdür .
Standart sapmanın formülü nedir?
Standart sapmanın matematiksel formülü şöyledir:
Altın:
σ: Standart sapmayı temsil eder.
Σ: Toplamı gösterir.
xi: Bunlar veri kümesinin bireysel değerleridir.
Ortalama: Bu, veri kümesinin ortalaması veya ortalamasıdır.
n, kümedeki toplam veri sayısıdır.
Standart sapma, bir kümedeki verilerin ortalamasından veya ortalamasından ne kadar farklı olduğunu anlamamızı sağlayan bir dağılım ölçüsüdür. Kümedeki her bir değer ile kümenin ortalaması arasındaki farkların karelerinin toplamının karekökünün, kümedeki toplam veri sayısına bölünmesiyle elde edilir.
Standart sapma nasıl hesaplanır?
Standart sapma aşağıdaki adımlar kullanılarak hesaplanır:
1. Veri setinin ortalamasını veya ortalamasını hesaplayın
Ortalama, veri setindeki tüm değerlerin toplanması ve sonucun toplam veri değerine bölünmesiyle elde edilir. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
Burada xi, veri setindeki değerlerin her birini, n, setteki veri öğelerinin sayısını ve Σ toplamı temsil eder.
2. Veri setindeki değerlerin her birinden ortalamayı çıkarın
Veri kümesindeki her değer ile ortalama arasındaki farkları elde etmek için, veri kümesindeki değerlerin her birinden ortalama (önceki adımda hesaplanan) çıkarılır. Bu bize verilerin ortalamadan ne kadar uzakta olduğunu belirlememizi sağlar.
3. Önceki adımda elde edilen farkların her birinin karesi
Önceki adımda elde edilen farkların kareleri alınır. Bu adım, olumlu ve olumsuz farklılıkların birbirini iptal etmesini önlemek ve ortalamadan en uzaktaki değerleri öne çıkarmak için gerçekleştirilir.
4. Önceki adımda elde edilen değerlerin ortalamasını hesaplayın
Bir önceki adımda elde edilen değerlerin ortalaması hesaplanır. Bu ortalama, farklılıkların karelerinin toplamının toplam veri sayısına bölünmesiyle elde edilir. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
Ortalama karesel farklar = Σ((xi – ortalama)²) ÷ n
5. Önceki adımda elde edilen değerin karekökünü alın
Son adım, önceki adımda elde edilen değerin karekökünü almaktır. Bu, verilerin ortalamadan dağılımının bir ölçüsü olan standart sapmayı sağlar.
Standart sapma nasıl yorumlanır?
Standart sapmanın yorumunun, çalışılan verilerin bağlamına ve doğasına bağlı olduğunu unutmamak önemlidir.
Bu nedenle, standart sapmanın anlamını tam olarak anlamak ve veri değişkenliğini tam ve doğru bir şekilde anlamak için onu diğer istatistiksel ölçümlerle birlikte kullanmak önemlidir. Aşağıdaki bazı örneklere bakalım.
Değişkenlik analizi
Standart sapma , bir kümedeki verilerin değişkenliğini veya dağılımını değerlendirmek için kullanılır. Standart sapmanın düşük olması verilerin ortalamaya yakın olduğunu ve değişkenliğin az olduğunu gösterir. Öte yandan standart sapmanın yüksek olması verilerin daha dağınık ve değişkenliğe sahip olduğunu gösterir.
veri karşılaştırması
Farklı veri kümeleri arasındaki değişkenliği karşılaştırmak için kullanışlıdır. Örneğin, iki ülkenin gelirinin standart sapması karşılaştırıldığında, hangi ülkenin nüfusunun gelirinde daha fazla değişkenlik olduğu sonucuna varılabilir.
Aykırı değerlerin belirlenmesi
Bir kümedeki aykırı değerlerin veya olağandışı verilerin belirlenmesine yardımcı olur. Ortalamadan 1 veya 2 standart sapmadan fazla olan veriler aykırı değerler olarak kabul edilebilir.
Ölçüm doğruluğunun değerlendirilmesi
Aynı zamanda bir ölçümün veya tahminin kesinliğinin veya güvenilirliğinin ölçüsü olarak da kullanılır. Örneğin araştırma yapıyorsanız ve standart sapması yüksek ölçümler alıyorsanız, bu durum ölçümlerin doğruluğunun daha düşük olduğunu ve veri toplanırken daha fazla dikkatli olunması gerektiğini gösterebilir.
Veri normalliğinin değerlendirilmesi
Standart sapma, verilerin normal dağılıma uyup uymadığını değerlendirmek için diğer ölçümlerle birlikte kullanılır. Verilerin ortalamadan küçük bir standart sapmaya sahip olması, verilerin yaklaşık olarak normal dağılıma göre dağıldığını gösterebilir.
Standart Sapmanın Sayısal Örnekleri
Genel anlamda karmaşık olabileceği doğru olsa da standart sapma basit bir şekilde anlaşılmaktadır. Şüphelerinizi açıklığa kavuşturmak için aşağıda iki farklı yöntem kullanarak bazı örnekleri paylaşıyoruz.
varyansın karekökü
Diyelim ki elimizde şu veriler var: 9, 3, 8, 9 ve 16.
Adım 1: Aritmetik ortalamayı hesaplayın:
Aritmetik ortalama = (9 + 3 + 8 + 9 + 16) ÷ 5 = 9.
Adım 2: Varyans formülünü uygulayın:
Sapma = [(9 – 9) 2 + (3 – 9) 2 + (8 – 9) 2 + (9 – 9) 2 + (16 – 9) 2 ] ÷ 5 = 86 ÷ 5 = 17,2.
Adım 3: Varyansın karekökünü alın:
Standart sapma = √(17,2) ≈ 4,14.
Sapmaların toplamı ve toplam gözlem sayısına bölünmesi
Diyelim ki elimizde şu veriler var: 2, 4, 2, 4, 2 ve 4.
Adım 1: Aritmetik ortalamayı hesaplayın:
Aritmetik ortalama = (2 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4) ÷ 6 = 3.
Adım 2: Sapmaları toplayıp toplam gözlem sayısına bölerek standart sapmayı hesaplayın:
Standart sapma = [(2 – 3) + (4 – 3) + (2 – 3) + (4 – 3) + (2 – 3) + (4 – 3)] ÷ 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) ÷ 6 = 1.
Her iki durumda da farklı hesaplama yöntemleri kullanılarak sırasıyla yaklaşık 4,14 ve 1 standart sapma elde ediyoruz. Bu, varyansın karekökü kullanılarak veya sapmaların toplanıp toplam gözlem sayısına bölünmesiyle standart sapmanın nasıl elde edilebileceğini gösterir.