4×4'lük bir matrisin determinantı tümleyenler veya kofaktörlerle nasıl hesaplanır

Bu sayfada bir determinantın toplama veya kofaktörlerle nasıl çözüleceğini ve ayrıca 4×4 boyutunda bir matrisin determinantının nasıl hesaplanacağını göreceğiz. Bununla birlikte, 4. mertebeden bir matrisin determinantını çözmek için, öncelikle bir satır veya sütunun eklerini kullanarak bir determinantın nasıl hesaplanacağını bilmelisiniz. Bu nedenle ilk önce bir determinantın eşlenikler veya kofaktörler aracılığıyla nasıl bulunacağını, ardından 4. dereceden bir determinantın nasıl oluşturulacağını göreceğiz .

Toplama veya kofaktörlerle bir determinant nasıl hesaplanır?

Bir determinant, herhangi bir satır veya sütundaki elemanların çarpımlarının ilgili tamamlayıcılara (veya kofaktörlere) eklenmesiyle hesaplanabilir.

Bu yönteme bir determinantın eklerle veya eşçarpanlarla çözülmesi denir veya hatta Laplace kuralını (veya Laplace teoremini) anlatan matematikçiler bile vardır.

Determinantın milletvekilleri tarafından çözülmesine örnek:

3 × 3’lük bir matrisin determinantını eklerle çözmenin pratik bir örneğini görelim. Aşağıdaki determinantı yapalım:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}$

Öncelikle determinantın bir sütununu veya satırını seçmemiz gerekiyor. Bu durumda, 0 değerine sahip olduğu ve dolayısıyla çözülmesi daha kolay olacağı için ilk sütunu seçiyoruz .

Şimdi ilk sütunun öğelerini ilgili yardımcılarıyla çarpmamız gerekiyor:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

0’ın tümleyeninin hesaplanmasına gerek yoktur çünkü 0 ile çarpmak onu iptal eder. Bu nedenle basitleştirebiliriz:

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

Şimdi tümleyenleri hesaplamaya devam edelim:

$\displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 7 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & 5 \end{vmatrix}$

Vekilini hesaplamayı unutmayın

$a_{ij}$

, yani satır öğesi

$i$

ve sütun

$j$

için aşağıdaki formül uygulanmalıdır:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

tamamlayıcı minör nerede

$a_{ij}$

satırı çıkararak matrisin determinantıdır

$i$

ve sütun

$j$

Kuvvetleri ve belirleyicileri çözüyoruz:

$= 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)$

$= 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17$

Ve hesap makinesiyle çalışıyoruz:

$= -54 + 51$

$= \bm{-3}$

Bu nedenle determinantın sonucu -3’tür.

Belirleyiciyi Sarrus kuralına göre hesaplarsak aynı sonucu elde ettiğimizi unutmayın:

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 0 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4) \\ & = 16 +45 + 0 +6 - 70 -0 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}$

Bir determinantın milletvekilleri tarafından nasıl hesaplandığını bildiğimizde, artık 4. dereceden bir determinantın sonucunu nasıl bulacağımızı görebiliriz:

4×4 determinantı nasıl hesaplanır?

4. mertebeden bir matrisin determinantını çözmek için, az önce milletvekilleri için gördüğümüz prosedürü uygulamamız gerekir. Yani herhangi bir satır veya sütunu seçiyoruz ve elemanlarının çarpımlarını ilgili tümleyenlere göre topluyoruz.

Ancak bu prosedürü 4×4 determinantla kullanarak birçok 3×3 determinantın hesaplanması gerekir ve bunlar genellikle uzun zaman alır. Bu nedenle, eklerin hesaplanmasından önce , Gauss yöntemine benzer şekilde çizgiler üzerinde dönüşümler gerçekleştirilir . Bir determinantın bir satırı, aynı satırın toplamı artı başka bir satırın bir sayıyla çarpılmasıyla değiştirilebilir.

Bu nedenle, milletvekillerine göre 4. dereceden bir determinantı hesaplamak için, hesaplamaları kolaylaştıracağından en fazla sıfır içeren sütunun seçilmesi gerekir. Daha sonra satırlar üzerinde dahili işlemler gerçekleştiririz, böylece sütundaki bir öğe dışında tüm öğeler boş olur.

Bir örnekle 4×4 determinantının nasıl yapıldığını görelim:

4×4 determinant çözme örneği:

Bu determinantı aşağıdaki 4×4 kare matrisin çözeceğiz:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}$

Bu durumda en fazla sıfır içeren sütun ilk sütundur. Bu nedenle ilk sütunu seçiyoruz.

Ve bu sütunda 1 olmasından yararlanarak ilk sütunun diğer tüm elemanlarını 0’a çevireceğiz. 1 olan satırla hesaplama yapmak daha kolay olduğu için.

Bu nedenle sütundaki diğer tüm elemanları 0’a çevirmek için ilk satırı ikinci satıra ekleriz ve ilk satırın 2 ile çarpımını dördüncü satırdan çıkarırız . Üçüncü satırın değiştirilmesine gerek yoktur çünkü ilk sütunda zaten 0 vardır.

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

Seçilen sütundaki elemanların biri hariç hepsini 0’a dönüştürdükten sonra determinantı hesaplamalara göre hesaplıyoruz. Yani sütundaki elemanların çarpımlarını ilgili yardımcılarına göre toplarız:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Terimler 0 ile çarpıldığında iptal edilir, bu nedenle onları basitleştiririz:

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}$

$=\text{Adj(1)}$

Bu nedenle 1’in ekini hesaplamak yeterlidir:

$\displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

Determinantı Sarrus kuralı ve kuvvetiyle hesaplıyoruz:

$\inlinestyle = 1 \cdot \bigl[ 3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]$

$=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0$

Ve son olarak hesap makinesiyle işlemleri çözüyoruz:

$\displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0$

$\displaystyle =\bm{98}$

4×4 determinantlarla ilgili çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

4. dereceden aşağıdaki determinantı çözün:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

4×4 determinantının sonucunu kofaktör yöntemiyle bulacağız. Ancak önce bir sütunun biri hariç tüm öğelerini sıfıra ayarlamak için satırlarla işlemler yaparız:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

Ve şimdi 4×4 determinantını son sütuna ek olarak çözüyoruz:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Şartları basitleştiriyoruz:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

1’in ekini hesaplıyoruz:

$\displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

Ve son olarak 3×3 determinantını Sarrus kuralıyla hesaplıyoruz:

$\displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{38}$

Alıştırma 2

4. dereceden aşağıdaki determinantı hesaplayın:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

4×4 determinantını kofaktörlerle hesaplayacağız. Ancak bunu yapmak için, önce bir sütunun biri hariç tüm öğelerini sıfıra ayarlamak için satırlarla işlemler gerçekleştiririz:

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3} \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}$

Şimdi 4×4 determinantını ikinci sütuna ek olarak çözüyoruz:

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Şartları basitleştiriyoruz:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

1’in ekini hesaplıyoruz:

$\displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}$

Ve son olarak 3×3 determinantını Sarrus kuralı ve hesap makinesiyle hesaplıyoruz:

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{124}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki 4. dereceden determinantın sonucunu bulun:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

4×4 determinantını milletvekilleri çözeceğiz. Her ne kadar bir sütundaki bir öğe dışındaki tüm öğeleri sıfıra dönüştürmek için ilk önce satırlarla işlemler yapsak da:

$\begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}$

Şimdi 4×4 determinantını üçüncü sütunla milletvekillerine göre çözüyoruz:

$\begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

Şartları basitleştiriyoruz:

$= \cancel{0\bm{\cdot}+ \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

1’in ekini hesaplıyoruz:

$\displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}$

Ve son olarak 3×3 determinantını Sarrus kuralı ve hesap makinesiyle çözüyoruz:

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{69}$

Alıştırma 4

Aşağıdaki 4. dereceden determinantın sonucunu hesaplayın:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

Çözüme bakın

4×4 determinantını Laplace kuralını kullanarak çözeceğiz. Ancak bir sütundaki tüm öğeleri biri hariç sıfıra ayarlamak için önce satırlarla işlemler yapmalısınız:

$\begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}$

Şimdi 4×4 determinantını ilk sütunla çözüyoruz:

$\begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$

Şartları basitleştiriyoruz:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$

$=- \text{Adj(-1)}$

-1’in ekini hesaplıyoruz:

$\displaystyle =- (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]-6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 11 & 5 & -3 \end{vmatrix}$

Ve son olarak 3×3 determinantını Sarrus kuralı ve hesap makinesiyle çözüyoruz:

$\displaystyle = -(-1)^{5} \cdot \bigl[18-55-240-264+10+90\bigr]$

$\displaystyle = -(-1) \cdot \bigl[-441 \bigr]$

$\displaystyle = - \bigl[+441 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{-441}$

Tüm bu pratikle muhtemelen 4×4 determinantların nasıl çözüleceğini zaten biliyorsunuzdur. Fantastik! Umarız tüm bu alıştırmalarla artık 4×4 boyutunda bir matrisin aralığını hesaplayabileceksiniz ki bu da pek çok kişiye mal olur.

4×4'lük bir matrisin determinantı tümleyenler veya kofaktörlerle nasıl hesaplanır?

Toplama veya kofaktörlerle bir determinant nasıl hesaplanır?

Determinantın milletvekilleri tarafından çözülmesine örnek:

4×4 determinantı nasıl hesaplanır?

4×4 determinant çözme örneği:

4×4 determinantlarla ilgili çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Alıştırma 4

Yorum bırakın Yanıtı iptal et