▷ Sınırların özellikleri (veya yasaları) nelerdir?

Burada fonksiyon limitlerinin tüm özelliklerini (veya yasalarını) bulacaksınız. Bu özellikler, özellikle fonksiyon operasyonlarında limitlerle uğraşırken limit hesaplamalarını basitleştirmeye yarar.

Fonksiyon sınırlarının özellikleri (veya yasaları) nelerdir?

Daha sonra, fonksiyonların limitlerinin tüm özelliklerini, diğer bir deyişle fonksiyonların limit kanunlarını açıklayacağız. Ek olarak, kavramı tam olarak anlayabilmeniz için limitlerin her bir özelliği için çözülmüş alıştırmaları görebileceksiniz.

Bir toplamın limitinin özelliği

Bir noktadaki iki fonksiyonun toplamının limiti, her fonksiyonun aynı noktadaki ayrı ayrı limitlerinin toplamına eşittir.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

Örneğin iki fonksiyonun olduğunu varsayalım:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

Her fonksiyonun x’in 1’e eşit olduğu limiti:

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

Dolayısıyla aynı noktada eklenen iki fonksiyonun limiti 4’ü verir (1+3=4).

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

Özellik, limitin adım adım hesaplanmasıyla kanıtlanabilir:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

Bir çıkarma işleminin limitinin özelliği

İki fonksiyonun bir noktada çıkarılmasının (veya farkının) limiti, her fonksiyonun aynı noktadaki limitinin ayrı ayrı çıkarılmasına eşdeğerdir.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

Önceki örnekteki işlevleri kullanarak:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

Her fonksiyonun x=3 noktasındaki limiti:

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

O halde x=3’te çıkarılan iki fonksiyonun limiti, bir önceki adımda elde edilen değerlerin farkıdır:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

Limitlerin bu özelliğini, fonksiyonların çıkarılmasını hesaplayıp ardından limiti çözerek kanıtlayabiliriz:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

Bir ürünün özelliğini sınırlama

Bir noktadaki iki fonksiyonun çarpımının limiti, o noktadaki her fonksiyonun limitinin çarpımıdır.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

Örneğin aşağıdaki iki farklı fonksiyona sahipsek:

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

Her fonksiyonun x=2 noktasındaki limiti:

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

Dolayısıyla iki fonksiyonun çarpımının limitini belirlemek için bunları birbiriyle çarpmak gerekli değildir, ancak her limitten elde edilen sonucu çarpmak yeterlidir:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

Bu bize zamandan ve hesaplamalardan tasarruf sağlar çünkü iki fonksiyonu çarpmak zor olabilir.

Bir bölümün limitinin özelliği

İki fonksiyonun bölümünün (veya bölümünün) limiti, fonksiyonların limitlerinin bölümüne eşittir.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Payda fonksiyonunun limiti sıfır olmadığı sürece bu koşul sağlanır.

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

Sınırların bu özelliğine (veya yasasına) bir örnek çözeceğiz. f(x) ve g(x) fonksiyonlarını düşünün:

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

İlk önce her fonksiyonun limitini x=0’da hesaplıyoruz:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

Böylece iki fonksiyonun x=0’da bölümünün limiti kolaylıkla bulunabilir:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

Bu durumda g(x)’in limiti sıfır olmadığı için limiti çözmek için bu özelliği uygulayabiliriz.

Bir sabitin limitinin özelliği

Sabit bir fonksiyonun limiti, limitin hesaplandığı noktaya bakılmaksızın her zaman sabitin kendisiyle sonuçlanır.

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

Bu özelliği kontrol etmek çok kolaydır; örneğin aşağıdaki sabit fonksiyona sahipsek:

$f(x)=5$

Mantıksal olarak sabit fonksiyonun herhangi bir noktadaki limiti 5’tir:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

Sabit bir katın limitinin özelliği

Bir çarpımın limiti ve bir sabitin limitinin özelliklerinden aşağıdaki özelliği çıkarabiliriz:

Bir fonksiyonun limitinin bir sabitle çarpımı, söz konusu sabitin fonksiyonun limitiyle çarpımına eşittir.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

Bu özelliği kullanarak aşağıdaki limitin hesaplanmasını nasıl basitleştirdiğimize dikkat edin:

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

Bir gücün sınırının özelliği

Herhangi bir fonksiyonun bir üsse yükseltilen limiti, fonksiyonun limitinin hesaplanmasına ve ardından limitin sonucunun bu üsse yükseltilmesine eşdeğerdir.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

Örneğin doğrusal bir fonksiyonun limiti:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

İkinci dereceden fonksiyonun limiti, doğrusal fonksiyonun limiti bulunup sonucun karesi alınarak hesaplanabilir:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

Üstel bir fonksiyonun limitinin özelliği

Üstel bir fonksiyonun limiti, fonksiyonun cebirsel ifadesinin limitine yükseltilmiş fonksiyonun sabitine eşittir.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

Daha sonra bu özelliği doğrulamak için üstel bir fonksiyonun limitini iki olası yolla hesaplayacağız:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

Fonksiyonların kuvvetinin limitinin özelliği

Bir fonksiyonun başka bir fonksiyona yükseltilmiş limiti, birinci fonksiyonun ikinci fonksiyonun limitine yükseltilmiş limitidir.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

Örnek olarak bu kanunu uygulayarak aşağıdaki limiti belirleyeceğiz:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

İrrasyonel bir fonksiyonun limitinin özelliği

Bir kökün (veya kökün) limiti, limitin köküne eşittir.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

Bu özelliği kullanmak için, eğer kök indeksi çift ise fonksiyonun limitinin 0’dan büyük veya 0’a eşit olması gerektiğini aklınızda bulundurmalısınız:

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

Bu formülün uygulanmasıyla aşağıdaki limitin nasıl hesaplandığına dikkat edin:

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

Logaritmik bir fonksiyonun limitinin özelliği

Bir logaritmanın limiti, limitin aynı taban logaritmasına eşdeğerdir.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

Bu özelliği uyguladığımız aşağıdaki limitin çözümüne bakın:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$

Limitlerin özellikleri (veya yasaları)