Oranlar , karşılaştırılan iki miktar arasındaki matematiksel ilişkidir . Genel anlamda orantı, iki büyüklük arasındaki ilişkiyi veya oranı belirtir. Oran, kesir veya bölüm olarak ifade edilir. Ek olarak, iki eşdeğer orana sahip bir denklem olarak temsil edilir.
Örneğin, bir popülasyondaki erkek ve kadın sayısını karşılaştırırsanız ve her 3 kadına 2 erkek düştüğünü bulursanız, erkek/kadın oranı 2÷3 olur .
Benzer şekilde, iki şeklin alanlarını karşılaştırırsanız ve şekil A’nın alanının, şekil B’nin iki katı olduğunu bulursanız, A ve B’nin alanlarının oranı 2÷1 veya 2/1 olacaktır . Oranlar aritmetik, geometri, istatistik ve olasılık dahil olmak üzere matematiğin birçok alanında kullanılır.
Temel olarak iki miktarı karşılaştırmak ve ilişkilendirmek için kullanılırlar. Ek olarak, doğrudan ve ters orantı problemlerinin çözümünde de faydalıdırlar. Aynı şekilde istatistiksel ve deneysel çalışmalarda verilerin yorumlanması için.
Matematiksel oranlar “oran” terimiyle nasıl ilişkilidir?
Matematiksel oranlar ve “oran” terimi yakından ilişkilidir, çünkü orantı iki oran arasındaki eşitliktir . Matematikte oran, kesir veya bölüm olarak ifade edilen iki miktar veya değer arasındaki ilişkidir.
Örneğin, elimizde iki A büyüklüğü varsa ve B’yi karşılaştırırsak, A ile B arasındaki oran A ÷ B olarak ifade edilir. Bir oranda iki oran çifti vardır ve aralarındaki eşitlik bir kesirle temsil edilir. Bu nedenle, eğer elimizde A, B, C ve D olmak üzere dört nicelik varsa, bunların arasındaki oran A ÷ B = C ÷ D olarak ifade edilir; burada A ÷ B ve C ÷ D birbirleriyle karşılaştırılan iki orandır.
Oranlar nasıl hesaplanır?
Oranın hesaplanması, değerler arasında kurulan ilişkinin türüne bağlıdır. Orantı hesaplamak için genel olarak aşağıdaki prosedür izlenir:
- Birbiriyle ilişkili iki veya daha fazla değişkeni tanımlayın . Örneğin, çalışılan saat sayısı ile alınan maaş arasındaki oranı hesaplamak istiyorsanız, iki değişken çalışılan saat sayısı ve maaş olacaktır.
- Değişkenleri ilişkilendiren bir denklem yazın . Doğru orantılı olarak denklem y = kx biçimindedir; burada y bağımlı değişkendir, x bağımsız değişkendir ve k değişkenler arasındaki oranı temsil eden bir sabittir. Ters orantılı olarak denklem y = k ÷ x biçimindedir.
- k sabitini bulun . Bunu yapmak için değişkenlerin değerleri hakkında mevcut bilgiler k sabitini denklemden izole etmek için kullanılabilir. Örneğin, bir işçinin 8 saat çalıştığı için 80 dolar kazandığını biliyorsak, k sabitini y = kx denkleminden çözebiliriz:
80 = 8 bin
k = 10
- Oranın diğer değerlerini hesaplamak için k sabitini kullanın . K sabiti çözüldükten sonra denklem, oranın diğer değerlerini hesaplamak için kullanılabilir. Örneğin, günde 10 saat çalışan bir işçinin ne kadar kazanacağını bilmek istiyorsanız, k = 10 ve x = 10 olmak üzere y = kx denklemini kullanabilirsiniz:
y = kx = 10 10 = 100
Genel olarak bir oranın hesaplanması, değişkenler arasındaki ilişkiye ve değerlerine ilişkin mevcut bilgilere bağlı olarak az çok karmaşıktır. Bazı durumlarda oranın detaylı bir şekilde analiz edilebilmesi için diferansiyel ve integral hesap gibi daha gelişmiş yöntemlerin kullanılması gerekebilir.
Oran türleri nelerdir?
Matematiksel oranlarda iki tür tanımlanabilir. Daha sonra, içgörülerin her biri açıklanır.
doğru orantı
Doğru orantılı olarak iki veya daha fazla değişken aynı oranda artar veya azalır . Bu, değişkenlerden birinin artması durumunda diğerinin de orantılı miktarda artacağı anlamına gelir. Doğru orantıya örnek olarak zaman ve mesafe verilebilir; burada zaman arttıkça kat edilen mesafe de artar.
Doğru orantının bir örneği, çalışılan saat sayısı ile alınan maaş arasındaki orandır. Eğer bir işçi saat başına 10€ kazanıyorsa ve günde 8 saat çalışıyorsa, günlük ücreti şu şekilde olacaktır:
8 saat 10 €/saat = 80 €
İşçinin daha fazla saat çalışması durumunda maaşı da doğru orantılı olarak artacaktır. Örneğin günde 10 saat çalışıyorsanız maaşınız şu şekilde olacaktır:
10 saat 10 €/saat = 100 €
Bunun yerine, daha az saat çalışırsanız maaşınız da doğru orantılı olarak azalacaktır. Örneğin günde yalnızca 6 saat çalıştıysanız maaşınız şu şekilde olacaktır:
6 saat 10 €/saat = 60 €
ters orantı
Ters orantıda iki veya daha fazla değişkenin zıt bir ilişkisi vardır . Yani değişkenlerden biri artarsa diğeri de aynı oranda azalacaktır. Ters ilişkiye bir örnek zaman ve hızdır; burada zaman artarsa hız azalır.
Ters orantıya bir örnek, hız ile bir arabanın belirli bir mesafeyi kat etmesi için gereken süre arasındaki ilişkidir. Bir araba 60 km/saat hızla gidiyorsa 120 km’lik yolu 2 saatte kat eder:
Hız = 60 km/saat
Mesafe = 120km
Zaman = Mesafe ÷ Hız = 120 km ÷ 60 km/saat = 2 saat
Araç hızını 80 km/saat’e çıkarırsa aynı mesafeyi kat etmesi daha az zaman alacaktır:
Hız = 80 km/saat
Mesafe = 120km
Zaman = Mesafe ÷ Hız = 120 km ÷ 80 km/saat = 1,5 saat
Bu durumda hız ile zaman ters orantılıdır, çünkü hız artarsa aynı mesafeyi kat etmek için gereken süre de aynı oranda azalır.
Oranlar ne kadar önemli?
Oranlar matematikte ve yaşamın diğer birçok alanında önemlidir. Genel olarak farklı nicelikleri anlamlı ve yararlı bir şekilde karşılaştırmamıza ve ilişkilendirmemize olanak tanırlar.
Birincisi, orantılar gerçek dünyadaki ve matematik problemlerini verimli ve etkili bir şekilde çözmemize olanak tanır. Düzenli olarak karmaşık sorunlara çözüm bulmak için kullanılırlar. Örneğin mühendislik sorunları veya kişisel finans sorunları.
Öte yandan, büyüklükler çok farklı olsa bile iki büyüklüğü anlamlı bir şekilde karşılaştırmak için kullanılırlar. Örneğin, farklı boyut veya markadaki iki ürünün fiyatını karşılaştırıyorsak hangisinin paranızın karşılığını daha iyi verdiğini belirlemek için bir oran kullanabiliriz.
Ayrıca oranlar sayesinde farklı seçenekler arasında anlamlı karşılaştırmalar yapmak mümkün oluyor ve bu da bilinçli kararlar almamıza yardımcı oluyor. Örneğin, farklı cep telefonu planlarını veya tatil paketlerini karşılaştırırken hangisinin en iyi değeri sunduğunu belirlemek için oranları kullanabiliriz.
Orantı uygulamaları nelerdir?
Oranların bilim, teknoloji ve günlük yaşamın çeşitli alanlarında çok çeşitli uygulamaları vardır. En yaygın uygulamalardan bazıları şunlardır:
- Finans : Oranlar finansta borç oranı, likidite oranı ve karlılık oranı gibi finansal oranları hesaplamak için kullanılır. Bu oranlar, finansal analistlerin bir şirketin finansal performansını değerlendirmesine ve bilinçli yatırım kararları vermesine olanak tanır.
- İstatistikler – İstatistiklerde yüzdeleri, büyüme oranını ve iki veya daha fazla değer arasındaki ilişkiyi ifade eden diğer önlemleri hesaplamak için kullanılır. Bu ölçümler araştırmacıların verileri karşılaştırmasına ve ilgilenilen popülasyon hakkında çıkarımlarda bulunmasına olanak tanır.
- Geometri – Geometride geometrik şekillerin uzunluklarını, alanlarını ve hacimlerini hesaplamak için kullanılırlar. Örneğin Pisagor teoremi, kenar uzunluklarını hesaplamak için kullanılan bir dik üçgenin kenarları arasındaki oranı belirtir.
- Doğa bilimleri : Doğa bilimlerinde iki veya daha fazla değişken arasındaki ilişkiyi ifade etmek için kullanılırlar. Örneğin kimyada oranlar, bir kimyasal reaksiyonun stokiyometrisini ve reaktanların ve ürünlerin miktarları arasındaki ilişkiyi hesaplamak için kullanılır.
- Mühendislik : Sistemleri ve süreçleri tasarlamak ve optimize etmek için mühendislikte faydalıdırlar. Örneğin makine mühendisliğinde, uygulanan kuvvet ile mekanik sistemin hızı arasındaki ilişkiyi hesaplamak için oranlar kullanılır.
Oranları daha iyi anlamak için kolay örnekler
1. 3 elmanın fiyatı 1 euro ise 5 elmanın fiyatı ne kadardır?
Çözüm : Elmanın euro başına oranı 3 ÷ 1 = 3’tür. Yani 5 elma için gereken para miktarı (5 ÷ 3) · 1 = 1,67 euro (yaklaşık olarak) olacaktır.
2. Bir pizzayı 4 kişi 8 euroya paylaştırırsa aynı pizzanın 6 kişiye fiyatı ne kadar olur?
Çözüm : Pizza başına düşen kişi oranı 4 ÷ 8 = 1 ÷ 2. Yani 6 kişi için gereken para miktarı (6 ÷ 4) · 8 = 12 euro olacaktır.
3. Bir mağaza 25 Euro’luk bir tişörte %20 indirim yapıyorsa promosyon tişörtün fiyatı ne kadar olur?
Çözüm : %20 indirim 0,2 · 25 = 5 euro fiyat indirimine eşittir. Dolayısıyla indirimli fiyat 25 – 5 = 20 euro olacaktır.
Oranları Kolayca Öğrenmek İçin İpuçları
Orantıları ve bunların kullanışlılığını daha iyi anlamak için bazı basit ipuçlarını burada bulabilirsiniz.
- Problemleri çözmeye çalışmadan önce orantı kavramını anladığınızdan emin olun.
- Basit problemlerle alıştırma yapmaya başlayın, ardından yavaş yavaş daha karmaşık problemlere geçin.
- Günlük durumlarda oranları belirleme alıştırması yapın. Örneğin bir içecek karışımı hazırlarken mükemmel bir karışım yapmak için ihtiyacınız olan malzemelerin oranını belirleyebilirsiniz.
- Oranları görselleştirmek için istatistiksel tabloları ve grafikleri kullanın.
- Becerilerinizi geliştirmek için video eğitimlerine veya etkileşimli alıştırmalara bakın.
Oranlar ne zamandan beri öğretilmeli?
Oranlar matematiğin temel konularından biridir ve temel eğitimde öğretilmesi gerekir . Normalde oranlar ilkokulda, genellikle üçüncü veya dördüncü sınıfta öğretilir.
Bu noktada öğrenciler oranlarla ilgili kavramlar olan kesir ve ondalık sayılara aşina olmaya başlarlar.
Ancak lisede sürekli orantıların öğretilmesi. Bu aşamada öğrenciler yüzdelerle ilgili problemlerin çözümü, doğrudan ve ters orantı, basit ve bileşik üç kuralı gibi orantı kavramlarını ve uygulamalarını daha derinlemesine incelerler.