Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Burada logaritmik bir fonksiyonun türevini herhangi bir tabanda (formülde) nasıl çözeceğinizi bulacaksınız. Ayrıca logaritmik fonksiyonların türevleri üzerine adım adım alıştırmalarla pratik yapabileceksiniz.

Logaritmik bir fonksiyonu bölme formülü, logaritmanın doğal (e tabanlı) veya başka bir tabanlı olmasına bağlı olarak değişir . Bu nedenle önce iki formülü her duruma özel bir örnekle ayrı ayrı göreceğiz, ardından iki kuralın özetini yapacağız.

Doğal veya doğal logaritmanın türevi

Doğal logaritmanın (veya doğal logaritmanın) türevi, logaritmanın argümanının türevinin argümanın fonksiyonuna bölümüdür.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Mantıksal olarak, eğer logaritmanın içindeki fonksiyon özdeş fonksiyon ise, türevin payında 1 kalır:

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

3x’in doğal logaritmasının türevinin çözüldüğü aşağıdaki örneğe bakın:

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

Doğal logaritmanın, tabanı e (Euler sayısı) olan bir logaritma olduğunu unutmayın.

\ln(x)=\log_e(x)

Logaritmanın türevi

Bir logaritmanın herhangi bir tabana göre türevi, 1 bölü orijinal logaritmanın tabanının doğal logaritmasının x çarpımına eşittir.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

Yani zincir kuralını uygularsak logaritmik türev kuralı şöyle olur:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Örneğin x karenin 2 tabanındaki logaritmasının türevi:

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

Logaritmik bir fonksiyonun türevinin formülü

Logaritmik türevin tanımı ve iki olası varyantı göz önüne alındığında, hatırlamanızı kolaylaştırmak için burada iki formülün bir özeti verilmiştir.

logaritmik bir fonksiyonun türevi

Logaritmik fonksiyonların türevleriyle ilgili çözülmüş problemler

1. Egzersiz

Aşağıdaki logaritmik fonksiyonu türetin:

f(x)=\log(3x^2)

Bu durumda bir logaritmanın türevini ondalık tabanda çözmek gerekir, dolayısıyla aşağıdaki formülü uygulamamız gerekir:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Dolayısıyla logaritmanın 10 tabanındaki türevi şu şekildedir:

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

Logaritmanın tabanı yoksa bunun tabanının 10 olduğu anlamına geldiğini unutmayın.

Alıştırma 2

Aşağıdaki doğal (veya doğal) logaritmayı türetin:

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

Bu problemdeki fonksiyon doğal bir logaritma olduğundan logaritmik fonksiyonu türetmek için aşağıdaki kuralı kullanmamız gerekir:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Dolayısıyla doğal logaritmanın türevi şu şekildedir:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

Alıştırma 3

Aşağıdaki logaritmayı türetin:

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

Bu alıştırmada 7 tabanlı bir logaritma türetmemiz gerekiyor, dolayısıyla aşağıdaki formülü kullanacağız:

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Ve logaritmanın türevi:

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

Alıştırma 4

Aşağıdaki logaritmik fonksiyonun kesirli türevini bulun:

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

Logaritmik türevi çözmek için öncelikle logaritmanın özelliklerini uygulayarak fonksiyonu basitleştirebiliriz:

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

Artık logaritmik türev formülünü iki kez kullanmamız gerekiyor, ancak her iki türevi de hesaplamak daha kolaydır.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

Özetle fonksiyonun türevi şöyledir:

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

Alıştırma 5

Aşağıdaki tek köklü logaritmik fonksiyonun türevini hesaplayın:

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

Öncelikle logaritmanın özelliklerini kullanarak fonksiyonu basitleştireceğiz:

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

Fonksiyondan radikali çıkardıktan sonra doğal veya doğal logaritmanın türevi kuralını kullanırız:

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

Bu nedenle bileşik logaritmik fonksiyonun türevi şöyledir:

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

Yorum bırakın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Scroll to Top