Arksinüs türevi - Mathority

Bu makalede bir fonksiyonun ark sinüsünün nasıl türetileceğini açıklıyoruz. Fonksiyonların ark sinüsünün türevlerinin örneklerini bulacaksınız ve hatta adım adım çözülen alıştırmalarla pratik bile yapabilirsiniz. Son olarak arksinüs türevi formülünün gösterimini de göreceksiniz.

Arsinüsün türevi nedir?

X’in arksinüs türevi, bir bölü bir eksi x karenin kareköküdür.

$f(x)=\text{arcsen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Bu nedenle, bir fonksiyonun ark sinüsünün türevi, o fonksiyonun türevinin bölümünün birin karekökü eksi kare fonksiyonuna bölünmesine eşittir.

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Mantıksal olarak zincir kuralının birinci formüle uygulanmasıyla ikinci formül elde edilir.

Arsinüsün sinüsün ters fonksiyonu olduğunu unutmayın, bu yüzden ona ters sinüs de denir.

Arksinüs türevi örnekleri

Arksinüs türevinin formülünün ne olduğunu gördükten sonra bu tip trigonometrik türevlerin birkaç örneğini açıklayacağız. Bu şekilde bir fonksiyonun ark sinüsünün nasıl türetildiğini anlamanız daha kolay olacaktır.

Örnek 1: 2x’in ark sinüsünün türevi

$f(x)=\text{arcsen}(2x)$

Ark sinüs fonksiyonunun türevini bulmak için karşılık gelen formülü kullanmamız gerekir:

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

Yani 2x’in türevi 2’dir, yani 2x’in arksinüs türevi 2 bölü birin kökü eksi 2x karedir:

$f(x)=\text{arcsen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\cfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

Örnek 2: x karenin ark sinüsünün türevi

$f(x)=\text{arcsen}(x^2)$

Bunu türetmek için arksinüs türevi formülünü kullanırız:

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

x ² fonksiyonu ikinci dereceden olduğundan türevi 2x’tir. Böylece, x’in ark sinüsünün 2’ye yükseltilmiş türevi şöyle olur:

$f(x)=\text{arcsen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{\sqrt{1-\left(x^2\right)^2}}=\cfrac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

Örnek 3: e ^x’in ark sinüsünün türevi

$f(x)=\text{arcsen}(e^x)$

Bu örnekteki fonksiyon bileşik bir fonksiyon olduğundan türevi çözmek için zincir kuralını uygulamamız gerekir:

$f(x)=\text{arcsen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

e ^x’in türevi kendisi olduğundan tüm fonksiyonun türevi şöyle olur:

$f(x)=\text{arcsen}(e^x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{e^x}{\sqrt{1-\left(e^x\right)^2}}=\cfrac{e^x}{\sqrt{1-e^{2x}}}$

Arcsine Türevi Çözülmüş Sorunlar

Aşağıdaki ark sinüs fonksiyonlarını türetin:

$\text{A) }f(x)=\text{arcsen}(6x)$

$\text{B) }f(x)=\text{arcsen}(x^2-4x)$

$\text{C) }f(x)=\text{arcsen}\left(3x^4-6x^3+9+e^{x^2}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{arcsen}\left(\log_5(3x)\right)$

$\text{E) }f(x)=\text{arcsen}\left(\sqrt{4x}\right)$

çözümü gör

$\text{A) }f'(x)=\cfrac{6}{\sqrt{1-(6x)^2}}=\cfrac{6}{\sqrt{1-36x^2}}$

$\text{B) }f'(x)=\cfrac{2x-4}{\sqrt{1-(x^2-4x)^2}}$

$\text{C) }f'(x)=\cfrac{12x^3-18x^2+2x\cdot e^{x^2}}{\sqrt{1-(3x^4-6x^3+9+e^{x^2})^2}}$

$\text{D) }f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\log_5(3x)\right)^2}}\cdot \cfrac{3}{3x\cdot \ln 5}=\cfrac{1}{x\cdot \ln 5\cdot \sqrt{1-\left(\log_5(3x)\right)^2}}$

$\begin{aligned}\text{E) } f'(x)& =\cfrac{1}{\sqrt{1-\left(\sqrt{4x}\right)^2}}\cdot \cfrac{4}{2\sqrt{4x}}\\[1.5ex] &=\cfrac{2}{\sqrt{1-4x}\cdot 2\sqrt{x}}\\[1.5ex] &=\cfrac{1}{\sqrt{x-4x^2}} \end{aligned}$