Küplerin farkı (veya çıkarılması)

Bu sayfada küp farkının (formül) nasıl çarpanlara ayrılacağını açıklıyoruz. Ayrıca çeşitli örnekleri görebilecek ve hatta adım adım çözülen alıştırmalarla pratik yapabileceksiniz.

Küpler arasındaki fark nedir?

Matematikte, küplerin farkı (veya çıkarılması), kübik kökleri kesin olan bir pozitif terim ve bir negatif terimden oluşan bir binomdur (yalnızca iki tek terimli polinom). Başka bir deyişle, küp farkının cebirsel ifadesi ³ -b ^3’tür .

Aynı şekilde mükemmel küplerdeki farklılık da dikkat çekici bir ürüne karşılık geliyor. Ne olduklarını bilmiyorsanız dikkat çeken ürünlerin hangileri olduğu , nasıl hesaplandığı ve ne işe yaradığının açıklandığı bu sayfayı size bırakıyoruz.

Küp formülü farkı

Küplerin farkının veya çıkarılmasının tanımı göz önüne alındığında, bu tür dikkat çekici eşitliğin formülünün ne olduğunu göreceğiz:

Bu nedenle, küpten iki terim çıkarmak, bu iki terimin farkının birinci terimin karesiyle çarpımı artı iki büyüklüğün çarpımı artı ikinci terimin karesine eşittir.

Yani küp farkı formülünü uyguladığımızda, aslında 3. dereceden bir polinomu çarpanlara ayırıyoruz çünkü bir polinomu iki faktörün çarpımına dönüştürüyoruz. Polinomları çarpanlara ayırma hakkında daha fazla bilgi edinmek için yukarıdaki bağlantıya tıklayın.

Küp Farkı Örnekleri

Mükemmel küplerin farkı kavramını anlamayı tamamlamak için, onun formülünü kullanarak küplerin çıkarılmasını çarpanlara ayırmanın birkaç örneğini göreceğiz:

örnek 1

Aşağıdaki formülü kullanarak küplerin aşağıdaki farkını çarpanlarına ayırın:

$x^3-8$

Aslında bu bir küp farkıdır çünkü tek terimlinin kübik kökü

$x^3$

kesindir (ondalık sayı vermez) ve 8 sayısı da:

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3-8=x^3-2^3$

Bu nedenle, kübik ifadeyi bir binom ve bir üç terimlinin çarpımına dönüştürmek için mükemmel küplerin farkı formülünü kullanabiliriz:

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$x^3 -2^3 = (x-2)(x^2+x \cdot 2 + 2^2)$

Şimdi çarpma ve kuvvet işlemlerini yapmamız gerekiyor:

$x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x + 4)$

Elde edilen ifadeden şunu kolaylıkla tespit edebiliriz:

$x=2$

polinomun bir köküdür. Bu kavramı tam olarak anlamak önemlidir, dolayısıyla bu konuda tam olarak net değilseniz, bir polinomun kökünün nasıl alınacağını görmenizi öneririm.

Örnek 2

Mükemmel küp çıkarma formülünü kullanarak aşağıdaki negatif binom ifadesini çarpanlarına ayırın.

$8x^3-1$

Bu problemin binom’u aynı zamanda bir küp farkıdır, çünkü tek terimlinin kübik kökü

$8x^3$

bağımsız terim 1’den kesindir:

$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$\sqrt[3]{1} = 1$

$8x^3-1 =(2x)^3-1^3$

Bu nedenle polinom ifadesini basitleştirmek için tam küpleri çıkarma formülünü uygulayabiliriz:

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$(2x)^3-1^3 = (2x-1)\bigl((2x)^2+2x \cdot 1 + 1^2\bigr)$

Ve son olarak, yalnızca ortaya çıkan işlemleri hesaplamamız gerekiyor:

$(2x)^3-1^3 = (2x-1)(4x^2+2x + 1\bigr)$

Benzer kavramlar gibi görünseler de, küplerin farklılığı kübik binomla karıştırılmamalıdır; çünkü kübik binom farklı (ve daha önemli) bir kimliktir. Küplü binom formülünün ne olduğunu ve bu iki önemli kimlik arasındaki farkların neler olduğunu görebilmeniz için size bu bağlantıyı bırakıyoruz.

Çözülmüş Küp Farkı Sorunları

Küp farkını nasıl çözeceğinizi tam olarak anlamanız için adım adım çözülen birkaç alıştırma hazırladık. Aklınıza takılan her türlü soruyu yorum kısmından (aşağıda) bize sorabileceğinizi unutmayın.⬇⬇

1. Egzersiz

Formülünü kullanarak aşağıdaki küp farkını çarpanlarına ayırın:

$x^6-27x^3$

Çözüme bakın

İfade küp farkına karşılık gelir çünkü polinomun iki elemanının kübik kökleri tamdır:

$\sqrt[3]{x^6} = x^2$

$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$

$x^6-27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3$

Bu nedenle, kübik ifadeyi bir binom ile bir üç terimlinin çarpımına dönüştürmek için mükemmel küplerin farkı formülünü kullanabiliriz:

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3 = \left(x^2-3x\right)\left( \left(x^2\right)^2+x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)$

Bununla tüm işlemleri çözüyoruz ve böylece çarpanlara ayrılmış polinomu buluyoruz:

$\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3 = \left(x^2-3x\right)\left( x^4+3x^3 + 9x^2\right)$

Alıştırma 2

Her ürünü küp farkı olarak ifade edin:

$\text{A)} \ (x-5)(x^2+5x+25)$

$\text{B)} \ (2x-7)(4x^2+14x+49)$

$\text{C)} \ (8x-y^2)(64x^2+8xy^2+y^4)$

Çözüme bakın

3 alıştırmanın ifadeleri mükemmel küplerin farkı (veya çıkarma) formülüne uygundur, bu nedenle polinomların çarpımlarını çözmek yeterlidir:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x-5)(x^2+5x+25) = \\[2ex] = x^3+5x^2+25x-5x^2-25x-125 = \\[2ex] = x^3 -125\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x-7)(4x^2+14x+49) = \\[2ex] = 8x^3+28x^2+98x-28x^2-98x-343 = \\[2ex] = 8x^3-343\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(8x-y^2)(64x^2+8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3+64x^2y^2+8xy^4-64x^2y^2-8xy^4-y^6= \\[2ex] = 512x^3-y^6\end{array}$

👉👉👉 Son olarak, karelerde çıkarma işleminin nasıl hesaplanacağını bilmek de ilginizi çekebilir. Bu, az önce baktığımız kimlikle benzer bir başka dikkate değer kimliktir (ancak çok daha yaygın olarak kullanılmaktadır). Bağlantıya tıklayarak bu iki dikkat çekici kimlik arasındaki farkların neler olduğunu öğrenin.

Küpler arasındaki fark nedir?

Küp formülü farkı

Küp Farkı Örnekleri

örnek 1

Örnek 2

Çözülmüş Küp Farkı Sorunları

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Yorum bırakın Yanıtı iptal et