Etimolojik olarak kuaterniyonlar veya kuaterniyonlar Latince quaterni’den gelir. İspanyolca’da bu kelime “dörde kadar” anlamına gelir. Ancak yorumu “dört elementin sayısı” anlamına gelir.
Kuaterniyonlar, başlangıçta William Rowan Hamilton tarafından yaratılan, permutant olmayan bir alanın elemanlarıdır. Kuaterniyonlar, hiper karmaşık bir sayıyı oluşturan gerçek sayıların uzantısı olarak tanımlanır. Aslında karmaşık sayılara oldukça benzerler.
Yani, analojik olarak neden olunan amplifikasyon nedeniyle kuaterniyonlar meydana gelir. Öte yandan karmaşık sayılar, gerçel sayıların i sanal biriminin toplamına genişletilmesiyle üretilir, dolayısıyla i’nin karesi -1’e eşittir. İlk durumda, k , i ve j sanal birimleri gerçek sayılara eklenir.
Dolayısıyla kuaterniyonlarla ilgili olarak şuna sahibiz: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1. Bu temsil Cayley’in tablosunda düzenlenenlere karşılık gelir. Bu noktada i , j , k ve 1’in kuaterniyonların dört temel direği olduğunu belirtmekte fayda var.
| × | 1 | Hey | J | Ne |
| 1 | 1 | Hey | J | Ne |
| Hey | Hey | -1 | Ne | -J |
| J | J | -k | -1 | Hey |
| Ne | Ne | J | -Selam | -1 |
William Hamilton, 1843’te vektörleri çarpmasına, bölmesine, döndürmesine ve uzatmasına olanak tanıyan bir yöntem olarak kuaterniyonları icat etti.
Kuaterniyonlar nasıl yapılır?
Kuaterniyonlar, nesnelerinin her birinin 4 değişken içerdiği güzel bir cebir oluşturur. Aslında bunlara bazen Euler parametreleri denir ve Euler açılarıyla karıştırılmaması gerekir. Bu nesneler, normal sayılar cebirine benzer şekilde tek bir birim olarak toplanabilir ve çarpılabilir.
Ancak bir fark var. Matematiksel açıdan kuaterniyon çarpımı değişmeli değildir.
Kuaterniyonların 4 boyutu vardır. Her kuaterniyon 4 skaler sayıdan , bir gerçek boyut ve 3 sanal boyuttan oluşur. Bu hayali boyutların her birinin karekökü -1 olan birim değeri vardır. Ancak bunlar -1’in farklı karekökleridir, hepsi birbirine diktir ve i , j ve k olarak adlandırılır. Böylece bir kuaterniyon şu şekilde temsil edilebilir:
x = (a, b, c, d) yazılır ve x = a + bi + cj + dk
Buna göre a, b, c ve d, her kuaterniyon tarafından kesin olarak tanımlanan gerçek sayıları temsil eder. Öte yandan 1, i , j ve k sayıları temeldir. Eğer kuaterniyonları bir küme kullanarak temsil etmek istersek şunu yapabiliriz: IR 4’ün kümeyi temsil ettiğini varsayarak ifade şu şekilde olur: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}
Bu set gerçek dört boyutlu uzayla tutarlıdır. Tıpkı gerçek sayılar kümesinin bir boyuttaki uzaya karşılık gelmesi ve karmaşık sayılar kümesinin de iki boyutlu uzaya karşılık gelmesi gibi.
Kuaterniyonların cebirsel yapısı nedir?
Bir kuaterniyon düzensiz bir cismi gösterir. Bu, alana benzer cebirsel bir yapı olduğu anlamına gelir. Ancak çarpmada değişmeli değildir. Başka bir deyişle, bir cismin tüm niteliklerini yerine getirir ancak sonucu değişmeli değildir.
Kuaterniyon çarpımı ilişkiseldir. Ek olarak, sıfır olmayan her kuaterniyonun benzersiz bir tersi vardır. Kuaterniyonlar, karmaşık sayılarla karşılaştırıldığında ilişkisel bir cebir oluşturmaz.
Son olarak, karmaşık sayılar ve gerçek sayılar, birim veya çift uzayların Öklid vektör boyutlarını temsil ettiği gibi, kuaterniyonlar da dört boyutlu bir Öklid vektör alanı oluşturur.
Kuaterniyonlar matrislerde nasıl temsil edilir?
Matris gösterimleri aynı zamanda kuaterniyonların da karakteristiğidir. Bu durumda ifadesi için matematiksel matrisler uygulanır. Örneğin, p = a + bi + cj + dk kuaterniyonuna sahipsek, bunu 2 x 2’lik karmaşık bir matriste aşağıdaki gibi temsil etmek mümkündür:
Kuaterniyonlarda matris temsillerini kullanmanın başka bir yolu da gerçek 4 x 4 matrisleri kullanmaktır. Ayrıca kuaterniyonları temsil etmek için matrisler kullanılarak bunları iki vektörün iç çarpımı olarak ifade etmek mümkündür. Dolayısıyla bileşenlerden biri şu şekilde olacaktır: = (a1, a2, a3, a4) ve diğeri {1, i, j, k }.
Bu durumda gerçek bileşeni oluşturan a 1 elemanı ayrı ayrı yazılır. Ayrıca skaler çarpım için yalnızca üç taban i, j, k dikkate alınır:
x = (a1, a) = (a1, a2, a3, a4)
Kuaterniyonlarla hangi temel işlemler yapılabilir?
Bir kuaterniyon ile diğeri arasında bir çarpım eklemek ve elde etmek için karmaşık sayı aritmetiği uygulanır. Bu , önceki IR 4 setindekiyle aynı şekilde çalışır. Yani söz konusu set ve diğer işlemler bir bedenin tüm niteliklerini telafi etmektedir. Bu durumda tek önemli nokta, ürünün işe gidip gelmemesidir.
İlave edilmesi halinde dönem dönem yapılır. Her durumda karmaşık sayılarla aynı şekilde çalışır. Yani:
(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)k.
Ürün için bileşenden bileşene uygulanır. Buna göre şu şekilde görünüyor:
ab = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)j + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)k
Daha önce de belirttiğimiz gibi kuaterniyonların çarpımı hiçbir zaman değişmeli değildir. Tam tersine her zaman çağrışımsaldır . Daha önce detaylandırılan işlemler temsillerin değiştirilmesiyle gerçekleştirilebilir.
Kuaterniyonların uygulamaları nelerdir?
Bir kuaterniyon matematiksel bir araştırmanın çok ötesine geçer. Şu anda çeşitli uygulamaları var. İlk olarak sayı teorisindeki cevapları doğrulamak için kullanılırlar. Buna bir örnek, herhangi bir doğal sayının 4 tam karenin toplamı olarak ifade edildiğini belirten Lagrange teoremidir.
Öte yandan fizik alanında da uygulamaları bulunmaktadır. Kuaterniyonlar kuantum mekaniği, elektromanyetizma ve çok daha fazlası için çok faydalıdır.