Kovaryans, iki değişkenin birlikte nasıl değiştiğini anlamanıza yardımcı olan istatistiksel bir ölçüdür. Sıcaklık ve dondurma tüketimi gibi iki değişkeninizin olduğunu hayal edin. Sıcaklık arttıkça dondurma tüketimi de artıyorsa değişkenlerin kovaryansı pozitiftir. Tam tersine sıcaklık arttığında dondurma tüketimi azalıyorsa negatif kovaryansa sahiptirler.
Kovaryans , değişkenlerin aynı yönde mi (pozitif) yoksa zıt yönlerde mi (negatif) değişme eğiliminde olduğunu gösterir. Birlikte nasıl değiştikleri konusunda net bir model yoksa kovaryans sıfıra yakın olacaktır, yani değişkenler arasında güçlü bir doğrusal ilişki yoktur.
Kovaryans nasıl hesaplanır?
İki değişken arasındaki kovaryansı hesaplamak için her iki değişkenin değerlerini içeren bir veri setine sahip olmanız gerekir. Daha sonra şu adımları izleyin:
- Her değişkenin ortalamasını (ortalamasını) bulun . Her değişkenin tüm değerlerini toplayın ve sonucu toplam veri noktası sayısına bölün. Bu size her değişkenin ortalamasını verecektir.
- Her değişkenin ortalamasını karşılık gelen her değerden çıkarın . Bu adım, X değişkeninin ortalamasını X’in her değerinden çıkarmak ve aynı işlemi Y değişkeni için yapmaktan oluşur.
- Önceki adımın sonuçlarını çarpın . Önceki adımda çıkarılan her değer için, çıkarılan diğer değişkenin karşılık gelen sonucunu çarpın.
- Önceki adımdaki ürünleri ekleyin . Toplam değeri elde etmek için önceki adımda elde edilen tüm ürünleri toplayın.
- Önceki adımda elde edilen değeri toplam veri sayısına bölün . Bu değer iki değişken arasındaki kovaryanstır.
Kovaryansın pozitif, negatif veya sıfıra yakın olabileceğini unutmayın. Pozitif bir kovaryans, değişkenlerin aynı yönde hareket etme eğiliminde olduğunu gösterir. Öte yandan negatif kovaryans, değişkenlerin zıt yönlerde değişme eğiliminde olduğunu gösterir. Son olarak sıfıra yakın bir kovaryans, bunların birlikte nasıl değiştiği konusunda net bir model olmadığını gösterir.
Daha iyi anlamak için bir örnek görelim
“Çalışma saatleri” (X) ve “sınav notu” (Y) olmak üzere iki değişkenimiz olduğunu ve 5 kişilik bir öğrenci grubu için aşağıdaki verilere sahip olduğumuzu düşünelim:
Çalışma saatleri (X): 4, 6, 3, 7, 5.
Test sonucu (Y): 85, 90, 80, 95, 88.
Adım 1: Her değişkenin ortalamasını hesaplayın
X’in ortalaması: (4 + 6 + 3 + 7 + 5) ÷ 5 = 5
Y’nin ortalaması: (85 + 90 + 80 + 95 + 88) ÷ 5 = 86
Adım 2 : Her değişkenin ortalamasını karşılık gelen değerlerden çıkarın
X – X’in ortalaması: -1, 1, -2, 2, 0
Y – Y’nin ortalaması: -1, 4, -6, 9, 2
Adım 3 : Önceki adımda elde edilen sonuçları çarpın
(-1) · (-1) = 1
1 4 = 4
(-2) · (-6) = 12
2 9 = 18
0 2 = 0
Adım 4 : Önceki adımda elde edilen ürünleri ekleyin
1 + 4 + 12 + 18 + 0 = 35
Adım 5: Önceki adımda elde edilen değeri toplam veri sayısına bölün
35 ÷ 5 = 7
Bu durumda “çalışma saati” ile “sınav notu” değişkenleri arasındaki kovaryans 7’dir.
Varyans ve kovaryans arasındaki fark nedir?
Varyans , bir veri kümesinin istatistiksel dağılımını veya değişkenliğini gösteren bir ölçüdür. Bireysel değerlerin ortalamadan sapmalarının karelerinin ortalaması olarak hesaplanır. Yüksek varyans , verilerin ortalamaya yayıldığı veya ortalamadan uzaklaştığı anlamına gelirken, düşük varyans, verilerin ortalamaya yakın olduğu anlamına gelir.
Kovaryans ise iki değişkenin birlikte nasıl hareket ettiğini gösteren bir ölçüdür. İki değişkenin ortak değişiminin bir ölçüsüdür. Kovaryansın pozitif olması, iki değişkenin birlikte artma veya azalma eğiliminde olduğunu gösterir. Kovaryansın negatif olması, bir değişkenin azaldığında diğerinin artma eğiliminde olduğunu gösterir. Sıfıra yakın bir kovaryans, değişkenlerin güçlü bir doğrusal ilişkiye sahip olmadığını gösterir.
Kısaca varyans, bir veri setinin kendi değişkenliğini ölçerken kovaryans, iki değişken arasındaki ortak varyasyon ilişkisini ölçer.
Kovaryans ne kadar önemlidir?
Kovaryans, çeşitli nedenlerden dolayı istatistik ve veri analizinde önemli bir ölçüdür. Genellikle iki değişken arasındaki ilişkinin gücünü ve yönünü değerlendirmek için kullanılır. Kovaryans değerinin sıfıra yakın olması , ilişkinin zayıf olduğunu veya hiç olmadığını , yüksek değer ise değişkenler arasında güçlü bir ilişkinin olduğunu gösterir.
Öte yandan veri modelleme ve tahminde faydalı bir araç olduğunu da belirtmekte fayda var. Bir değişkendeki değişikliklerin başka bir değişkeni nasıl etkileyebileceğini anlamak için doğrusal regresyon ve zaman serisi analizi gibi gelişmiş veri analizi tekniklerinde kullanılabilir.
Finansal risk yönetiminde de büyük önem taşımaktadır. Yatırım portföylerinin çeşitlendirilmesinde ve farklı varlıkların risk ve getirilerinin değerlendirilmesinde temel olan iki finansal varlığın birlikte nasıl hareket ettiğini değerlendirmeyi mümkün kılar.
Kovaryansın ana kullanım alanları nelerdir?
Kovaryans, veri analizinde önemli bir araçtır ve çeşitli kullanımları vardır. Kovaryansın ana kullanım alanlarından biri istatistik ve ekonometridir . İki değişken arasındaki ortak değişim ilişkisini ölçmek için kullanılır; bu, onların birlikte nasıl değiştiklerini anlamamıza yardımcı olabilir.
Finansta kovaryans, hisse senedi, tahvil veya gayrimenkul gibi farklı finansal varlıkların getirileri arasındaki ilişkiyi değerlendirmek için kullanılır. Yatırımcıların varlıkların birlikte nasıl çalıştığını ve riski yönetmek için yatırımların nasıl çeşitlendirilebileceğini anlamalarına yardımcı olur.
Risk analizinde ve portföy yönetiminde kovaryans, risk çeşitlendirmesini, yani farklı varlıkların getirilerinin nasıl ilişkilendirildiğini hesaplamak için kullanılır. İki varlık arasındaki düşük kovaryans, bunların aynı yönde hareket etme olasılıklarının daha düşük olduğunu gösterir; bu da portföy riskinin azaltılması açısından yararlı olabilir.
Ayrıca kovaryans, farklı değişkenler arasındaki ilişkilerin davranışlarını anlamak ve tahminlerde bulunmak için incelendiği çevre bilimleri, biyoloji, psikoloji ve mühendislik gibi alanlarda da kullanılır.
Kovaryansın standart bir ölçü olmaması ve değişkenler arasındaki doğrusal olmayan ilişkileri yakalayamaması gibi bazı sınırlamalara sahip olduğunu belirtmek önemlidir. Bununla birlikte, iki değişkenin birlikte nasıl geliştiğini ve ortak varyasyon ilişkilerini anlamak için veri analizinde değerli bir araç olmaya devam etmektedir.
Kovaryans Özellikleri
Aşağıda kovaryansın en önemli özelliklerinden bazılarına bakalım:
- İki değişken arasındaki kovaryansın pozitif olması , onların aynı yönde hareket etme eğiliminde olduklarını gösterir. Öte yandan kovaryansın negatif olması zıt yönlerde hareket etme eğiliminde oldukları anlamına gelir. Kovaryans sıfır ise değişkenler arasında doğrusal bir ilişki yoktur.
- Korelasyonun aksine, kovaryans belirli bir aralıkla sınırlı değildir ve standartlaştırılmış ölçüm birimlerine sahip değildir . Bu, farklı ölçeklerden veya birimlerden kovaryansların karşılaştırılmasını zorlaştırabilir.
- Verilerde aşırı veya aykırı değerlerin varlığı kovaryans üzerinde önemli bir etkiye sahip olabilir. Bu , değişkenler arasındaki ilişki güçlü olmasa bile kovaryansın yüksek veya düşük olmasına neden olabilir.
- İki değişken arasındaki kovaryans simetriktir ; bu, X’in Y’ye göre kovaryansının, Y’nin X’e göre kovaryansına eşit olduğu anlamına gelir. Aslında kovaryans, iki değişkenin ortak değişimine dayanır.
- Kovaryansın değişkenler arasında mutlaka nedensel bir ilişki anlamına gelmediğini belirtmek önemlidir. Yalnızca değişkenler arasındaki ortak değişimin yönünü ve büyüklüğünü gösterir ancak doğrudan nedensel bir ilişki kurmaz.
kovaryans örneği
Zaten bildiğimiz gibi örnekler kullandığımızda her şey daha net ortaya çıkıyor. Bu nedenle, daha iyi anlaşılması için bu basit kovaryans örneğini analiz edeceğiz.
Aşağıdaki verilerle iki yeni değişkeni (A ve B) düşünün:
bir = (a1, a2, a3) = (2, 5, 7)
B = (b1, b2, b3) = (6, 3, 1)
Öncelikle değişkenlerin her birinin aritmetik ortalamasını hesaplayacağız:
A’ = (2 + 5 + 7) ÷ 3 = 4,67
B’ = (6 + 3 + 1) ÷ 3 = 3,33
Aritmetik ortalamayı hesapladıktan sonra kovaryansı hesaplamaya devam ederiz:
Cov(A, B) = (2 – 4,67) · (6 – 3,33) + (5 – 4,67) · (3 – 3,33) + (7 – 4,67) · (1 – 3,33) ÷ 3 = -2,33
Bu durumda kovaryans değeri negatiftir. Bu, A ve B değişkenlerinin negatif bir ilişkiye sahip olduğunu, yani bir değişken arttığında diğer değişkenin azalma eğiliminde olduğunu gösterir. Ancak A ve B arasındaki ilişkiyi daha iyi anlamak için doğrusal korelasyonu hesaplamak gerekir .
Kovaryansın ölçüm birimi söz konusu değişkenlerinkiyle aynı olduğundan, farklı değişkenlerin kovaryanslarının karşılaştırılamayacağı dikkate alınmalıdır. Bu nedenle, örneğin gelir ve yaş gibi değişkenlerin kovaryansını, ölçüm birimlerinin farklı olması nedeniyle karşılaştıramazsınız.