Kosinüs fonksiyonu

Bu sayfada kosinüs fonksiyonu hakkında her şeyi bulacaksınız: nedir, formülü nedir, grafikte nasıl gösterilir, fonksiyonun özellikleri, genlik, periyot vb. Ek olarak, kavramı tam olarak anlamak için kosinüs fonksiyonlarının farklı örneklerini görebileceksiniz. Hatta kosinüs teoremini ve kosinüs fonksiyonunun diğer trigonometrik oranlarla olan ilişkilerini bile açıklıyor.

kosinüs fonksiyonu formülü

Bir a açısının kosinüs fonksiyonu , formülü bir dik üçgenin (dik açılı üçgen) bitişik (veya bitişik) kenarı ile hipotenüsü arasındaki oran olarak tanımlanan trigonometrik bir fonksiyondur.

Bu tür matematiksel fonksiyona kosinüs, kosinüs veya kosinüs fonksiyonu da denir.

Kosinüs fonksiyonu, bir açının sinüsü ve tanjantıyla birlikte en iyi bilinen üç trigonometrik orandan biridir.

Kosinüs fonksiyonunun karakteristik değerleri

Bazı açılar sık sık tekrarlanır ve bu nedenle kosinüs fonksiyonunun değerini bu açılarda bilmek uygundur:

karakteristik değerler kosinüs fonksiyonu

Bu nedenle, kosinüs fonksiyonunun işareti, açının bulunduğu çeyreğe bağlıdır: açı birinci veya dördüncü çeyrekte ise kosinüs pozitif olacaktır, diğer yandan açı ikinci veya üçüncü çeyrekte ise kosinüs pozitif olacaktır. kosinüs negatif olacaktır.

Kosinüs fonksiyonunun grafiksel gösterimi

Önceki bölümde gördüğümüz değerler tablosuyla kosinüs fonksiyonunun grafiğini çizebiliriz. Kosinüs fonksiyonunun grafiğini çizerek şunu elde ederiz:

kosinüs fonksiyonunun grafiği nasıl çizilir

Grafikten de görebileceğiniz gibi kosinüs fonksiyonunun görüntülerinin değerleri her zaman +1 ile -1 arasındadır, yani üstte +1, altta -1 ile sınırlanmıştır. Ayrıca değerler her 360 derecede (2π radyan) tekrarlanır, dolayısıyla periyodu 360° olan periyodik bir fonksiyondur .

Öte yandan, bu grafikte kosinüs fonksiyonunun çift olduğunu çok iyi anlıyoruz, çünkü karşıt elemanları aynı görüntüye sahiptir, yani bilgisayar eksenine (Y ekseni) göre simetriktir. Örneğin 90°’nin kosinüsü 0, -90°’nin kosinüsü ise 0’dır.

Kosinüs fonksiyonunun özellikleri

Kosinüs fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Kosinüs fonksiyonunun tanım kümesinin tamamı gerçek sayılardır, çünkü grafiğin gösterdiği gibi, fonksiyon bağımsız değişken x’in herhangi bir değeri için mevcuttur.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

Kosinüs fonksiyonunun yolu veya aralığı negatif 1’den pozitif 1’e (her ikisi de dahil) kadardır.

$\text{Im } f= [-1,1]$

Sürekli bir fonksiyondur ve periyodikliği 2π olan bir çifttir.

$\displaystyle \text{cos }x = \text{cos}(-x)$

Bu tip trigonometrik fonksiyonun OY ekseni ile (0,1) noktasında tek bir kesişme noktası vardır.

$(0,1)$

Bunun yerine, periyodik olarak apsisi (X ekseni) ortalama pi’nin tek çoklu koordinatlarında keser.

$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}+k\pi ,0\right) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Kosinüs fonksiyonunun maksimumu şu durumlarda ortaya çıkar:

$x = 2\pi k \qquad k \in \mathbb{Z}$

Ve tersine, kosinüs fonksiyonunun minimumu şu noktada meydana gelir:

$x = \pi(2k +1 ) \qquad k \in \mathbb{Z}$

Kosinüs fonksiyonunun türevi, işareti değiştirilmiş sinüstür:

$f(x)=\text{cos } x \ \longrightarrow \ f'(x)= -\text{sen } x$

Son olarak kosinüs fonksiyonunun integrali sinüstür:

$\displaystyle \int \text{cos } x \ dx= \text{sen } x + C$

Kosinüs fonksiyonunun periyodu ve genliği

Grafiğinde gördüğümüz gibi kosinüs fonksiyonu periyodik bir fonksiyondur, yani değerleri bir frekansla tekrarlanır. Ek olarak salınım yaptığı maksimum ve minimum değerler genliğine bağlıdır. Dolayısıyla kosinüs fonksiyonunu belirleyen iki önemli özellik periyodu ve genliğidir:

$\displaystyle f(x)= A\text{cos}(wx)$

Kosinüs fonksiyonunun periyodu , grafiğin tekrarlandığı iki nokta arasındaki mesafedir ve aşağıdaki formülle hesaplanır:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

Kosinüs fonksiyonunun büyüklüğü, kosinüs teriminin önündeki katsayıya eşdeğerdir.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

Aşağıda periyodu veya genliği değiştirmenin etkilerini gösteren bir grafik görebilirsiniz:

Yeşil renkle gösterilen fonksiyonda, genliğin iki katına çıkarılmasıyla fonksiyonun +1’den -1’e değil, +2’den -2’ye gittiğini görebiliriz. Öte yandan kırmızıyla gösterilen fonksiyonda periyodu yarıya indirildiği için “kanonik” kosinüs fonksiyonundan iki kat daha hızlı gittiğini görebilirsiniz.

kosinüs teoremi

Kosinüs formülü normalde dik üçgenlerde kullanılsa da, her tür üçgene uygulanabilecek bir teorem de vardır: kosinüs veya kosinüs teoremi.

Kosinüs teoremi herhangi bir üçgenin kenarlarını ve açılarını şu şekilde ilişkilendirir:

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \text{cos }\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a \cdot c\cdot \text{cos }\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b\cdot \text{cos }\gamma$

Kosinüs fonksiyonunun diğer trigonometrik oranlarla ilişkileri

Daha sonra trigonometrideki en önemli trigonometrik oranlarla kosinüs ilişkilerini elde edersiniz.

Meme ile ilişki

Sinüs fonksiyonunun grafiği kosinüs eğrisine eşdeğerdir ancak kaydırılmıştır
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

sağ tarafta, iki işlev bu nedenle aşağıdaki ifadeyle bağlanabilir: