Koordinat sistemi - Mathority

Bu sayfada koordinat sisteminin ne olduğunu açıklayacağız ve ayrıca Kartezyen koordinat sistemi hakkında her şeyi bulacaksınız. Ayrıca diğer koordinat sistemi türlerini (kutupsal, silindirik, küresel vb.) ve koordinat sisteminin gerçek dünyadaki uygulamalarını da göreceksiniz.

Koordinat sistemi nedir?

Bu kavramı ilk başta kavramak biraz zor olsa da koordinat sisteminin tanımı şu şekildedir:

Koordinat sistemi bir noktanın konumunu belirlememizi sağlayan bir sistemdir. Yani herhangi bir geometrik nesnenin konumunu tanımlamak için kullanılan değerler kümesidir.

Örneğin aşağıdaki uçağın uçtuğu konum bir koordinat sistemiyle tanımlanabilir:

Bu durumda düzlem (5.3) noktasındadır. Çünkü X koordinatı 5, Y koordinatı 3’tür.

$(5,3)$

Öte yandan (0,0) noktasına koordinat orijini denir çünkü burası koordinat eksenlerinin başladığı yerdir ve koordinat sisteminin referans noktasıdır.

Meraktan dolayı koordinat sistemini icat eden matematikçinin Fransız René Descartes olduğu düşünülmektedir. İşte bu yüzden buna Kartezyen koordinat sistemi de deniyor.

Düzlemde kartezyen koordinat sistemi

Önceki bölümde gördüğümüz grafik düzlemde Kartezyen koordinat sistemine aittir. İki boyutlu bir sistem olduğu için düzlemde olduğunu söylüyoruz, yani sadece iki ekseni var: X ekseni ve Y ekseni.

X ekseni yatay koordinatlara karşılık gelirken, Y ekseni dikey koordinatları temsil eder. Aşağıda koordinatlarıyla birlikte grafiksel olarak temsil edilen birkaç noktayı görebilirsiniz:

Grafikte gördüğünüz gibi koordinatlar sayısal olarak parantezlerle temsil ediliyor, ayrıca önce X bileşeni sonra Y bileşeni konuluyor: (4,3). Ek olarak koordinatlar pozitif, negatif veya sıfır olabilir.

Öte yandan bu tip koordinat sistemine Kartezyen düzlem de denir.

Son olarak, hepsi aynı anlama gelse de koordinat eksenlerinin çeşitli şekillerde söylenebileceğini bilmelisiniz:

X eksenine aynı zamanda abscissa ekseni veya OX ekseni de denir.
Y ekseni aynı zamanda y ekseni veya OY ekseni olarak da adlandırılır.

Uzayda Kartezyen koordinat sistemi

Az önce bir noktanın düzlemde, yani iki eksenli (2 boyutlu) bir koordinat sisteminde nasıl temsil edileceğini gördük. Oysa gerçeklik 3 boyuttan (yükseklik, genişlik ve derinlik) oluşur.

Bu nedenle, Öklid geometrisinde, üç boyutlu uzay genellikle hepsi birbirine dik olan üç eksenli bir koordinat sistemiyle temsil edilir:

X ekseni derinliği temsil eder.
Y ekseni genişliği gösterir.
Z ekseni yüksekliğe karşılık gelir.

3 boyutlu uzayda kartezyen koordinat sistemi

Önceki grafiksel gösterimde de görebileceğiniz gibi herhangi bir noktanın koordinatları, söz konusu nokta ile orijin arasındaki mesafelerin (0,0,0) eksenleri üzerindeki izdüşümleri ile verilmektedir.

kutupsal koordinat sistemi

Kartezyen koordinat sistemleri (2D veya 3D) en yaygın kullanılanlardır. Ancak bazı durumlarda başka türde bir koordinat sistemi kullanmak bizim için uygun olabilir.

Kutupsal koordinat sistemi, koordinatları şu şekilde olan iki boyutlu bir referans sistemidir:

$\bm{r}$

koordinat orijini ile nokta arasındaki mesafedir. Buna radyal koordinat denir.
$\bm{\theta}$

X ekseninin noktadan ve orijinden geçen çizgiyle yaptığı açıdır. Buna açısal veya azimut koordinatı denir.

Aşağıdaki denklemleri kullanarak dikdörtgen koordinat sisteminden kutupsal koordinat sistemine kolayca geçiş yapabilirsiniz:

Kutupsal koordinatları Kartezyen koordinatlara dönüştürün

$x=r\cdot\text{cos}(\theta)$

$y=r\cdot\text{sen}(\theta)$

Kartezyen koordinatlardan kutupsal koordinatlara geçiş

$r= \sqrt{x^2+y^2}$

$\displaystyle \theta = \text{arctan}\left(\frac{y}{x}\right)$

Silindirik koordinat sistemi

Silindirik koordinat sistemi kutupsal koordinat sistemine çok benzer. Aslında aynı şeydir ancak bir koordinatı daha vardır: yükseklik.

Dolayısıyla silindirik çerçeve üç boyutlu bir çerçevedir, yani 3 koordinatlıdır:

$\bm{r}$

XY düzlemindeki noktanın dik izdüşümüdür, başka bir deyişle noktanın Z eksenine olan uzaklığıdır.
$\bm{\theta}$

pozitif yarı eksenin açısıdır

$r.$
$\bm{z}$

noktanın yüksekliği, uzaydaki Kartezyen koordinat sisteminin aynı koordinatıdır.

Kartezyen koordinat sistemini silindirik koordinatlara dönüştürmek için aşağıdaki formüller kullanılır:

Silindirik koordinatları Kartezyen koordinatlara dönüştürün

$x=r\cdot\text{cos}(\theta)$

$y=r\cdot\text{sen}(\theta)$

$z = z$

Kartezyen koordinatları silindirik koordinatlara dönüştürün

$r= \sqrt{x^2+y^2}$

$\displaystyle \theta = \text{arctan}\left(\frac{y}{x}\right)$

$z = z$

Küresel koordinat sistemi

Son olarak küresel koordinat sistemimiz var. Bu tür koordinat sistemi, kutupsal koordinatlara ve silindirik koordinatlara da oldukça benzer, ancak açıkça onlardan bazı farklılıkları vardır.

Küresel koordinat sistemi, üç boyutlu Öklid uzaylarını tanımlayan bir sistemdir, dolayısıyla üç koordinatı vardır:

$\bm{r}$

orijinden noktaya olan mesafedir (R3 cinsinden).
$\bm{\theta}$

X ekseninin pozitif kısmının çizgiyle yaptığı açıdır

$r$

XY düzlemine yansıtılır.
$\bm{\phi}$

Z ekseninin pozitif kısmı ile çizgi arasındaki açıdır

$r.$

Aşağıdaki formülleri kullanarak küresel ve Kartezyen koordinatlar arasında geçiş yapabilirsiniz:

Küresel koordinatları Kartezyen koordinatlara dönüştürme

$x=r\cdot\text{cos}(\theta)\cdot\text{sen}(\phi)$

$y=r\cdot \text{sen}(\theta)\cdot\text{sen}(\phi)$

$z = r\cdot\text{cos}(\phi)$

Kartezyen koordinatları küresel koordinatlara dönüştürme

$r= \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\displaystyle \theta = \text{arctan}\left(\frac{y}{x}\right)$

$\displaystyle \phi = \text{arctan}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)$

Koordinat sisteminin gerçek dünyadaki uygulamaları

Koordinat sistemleri gerçek hayatta da kullanıldığı için matematikte çok önemlidir. Örneğin, harita üzerinde nesnelerin, kişilerin ve hatta yerlerin yerini belirlemek için kullanışlıdırlar. Aslında GPS, koordinat sistemleri sayesinde var olur, çünkü Dünya üzerindeki konumunuzu bilmek için kullandıkları sistem budur.

Daha doğrusu, GPS coğrafi koordinatları iki unsurdan oluşur: enlem ve boylam. Enlem (kuzey veya güney) ve boylam (doğu veya batı), Dünya’nın merkezi ile konumunuz arasındaki açıyı ölçen iki açısal koordinattır. Her ikisi de ondalık veya altmışlık koordinatlarda derece cinsinden ifade edilir.

Koordinat sistemi nedir?

Düzlemde kartezyen koordinat sistemi

Uzayda Kartezyen koordinat sistemi

kutupsal koordinat sistemi

Silindirik koordinat sistemi

Küresel koordinat sistemi

Koordinat sisteminin gerçek dünyadaki uygulamaları

Yorum bırakın Yanıtı iptal et