Kesişen iki çizgi arasındaki mesafe (formül)

Bu sayfada kesişen iki çizgi arasındaki mesafeyi (formül) nasıl belirleyeceğinizi bulacaksınız. Ayrıca kesişen çizgiler arasındaki mesafelerle ilgili örnekleri görebilecek ve çözümlü alıştırmalarla pratik yapabileceksiniz.

Kesişen iki çizgi nedir?

Kesişen iki çizgi arasındaki mesafenin nasıl hesaplandığına bakmadan önce, iki çizgi arasındaki bu tür göreceli konumun tam olarak nelerden oluştuğunu kısaca hatırlayalım:

Kesişen doğrular olarak da adlandırılan iki kesişen doğru, farklı yönlere sahip olan ve herhangi bir noktada kesişmeyen iki ayrı çizgidir . Bu nedenle çapraz iki doğru aynı düzlemde değildir.

2 bölmeyi kesen iki çizgi arasındaki mesafe

Örneğin çizginin üzerindeki grafiksel gösterimde

$s$

her zaman çizginin ilerisindedir

$r$

Böylece birbirlerine asla dokunmayacaklar.

Kesişen iki çizgi arasındaki mesafe nasıl hesaplanır

Uzayda kesişen iki çizgi arasındaki mesafeyi belirlemek için çeşitli yöntemler vardır. Bu sayfada sadece bir prosedürü açıklayacağız, en kolayı çünkü diğer iki yöntem daha uzun ve daha karmaşıktır, aslında nadiren kullanılırlar.

Yön vektörü ve kesişen iki çizginin herhangi bir noktası şöyle olsun:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

Kesişen iki çizgi arasındaki mesafenin formülü :

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Altın

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$

vektörlerin karışık çarpımının mutlak değeridir

$\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$

ve noktalarla tanımlanan vektör

$A$

$B$

. Öte yandan,

$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$

çapraz iki çizginin yön vektörlerinin vektör çarpımının büyüklüğüdür.

Bu nedenle, kesişen 2 çizgi arasındaki mesafeyi bulmak için üçlü nokta çarpımının (veya üç vektörün karışık çarpımının) ve vektör çarpımının (veya iki vektörün vektör çarpımının) nasıl hesaplanacağını bilmeniz gerekir. İlgili formülleri, örnekleri ve çözülmüş alıştırmaları bulacağınız önceki bağlantılarda bunun nasıl yapıldığını inceleyebilirsiniz.

Kesişen iki çizgi arasındaki mesafenin nasıl bulunacağına ilişkin örnek

Çapraz iki çizgi arasındaki mesafenin nasıl belirleneceğini görebilmeniz için örnek olarak bir problem çözeceğiz:

Sonraki iki kesişen çizgi arasındaki mesafe nedir?

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}$

Öncelikle yön vektörünü ve her doğru üzerinde bir noktayı tanımlamamız gerekiyor. Bu nedenle iki çizgi sürekli bir denklem biçiminde ifade edilir:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}$

Şimdi kesişen iki çizgi arasındaki mesafenin formülünü uyguluyoruz:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Bir yandan karışık çarpımı çözüyoruz:

$\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13$

Öte yandan vektör çarpımının büyüklüğünü de buluyoruz:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}$

Son olarak, formüldeki her bir terimin değerini, çapraz iki çizgi arasındaki mesafenin yerine koyarız:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}$

Kesişen iki çizgi arasındaki mesafe problemlerini çözme

1. Egzersiz

Bir noktada kesişen aşağıdaki iki doğru arasındaki mesafeyi bulun:

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{1} = \cfrac{z+3}{2}$

$s: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{-1} = \cfrac{z-1}{2}$

Çözüme bakın

Öncelikle yön vektörünü ve her doğru üzerinde bir nokta bulmamız gerekiyor. Bu nedenle iki çizgi sürekli bir denklem biçiminde tanımlanır:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,1,2) \\[2ex] A(1,-1,-3) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,-1,2) \\[2ex] B(2,4,1)\end{cases}$

Şimdi kesişen iki çizgi arasındaki mesafenin formülünü kullanıyoruz:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Karışık ürünü belirliyoruz:

$\vv{AB} = B - A = (2,4,1) - (1,-1,-3) = (1,5,4)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \\[1.1ex] 1&5&4 \end{vmatrix}\right| = \left| -6 \right| =6$

Daha sonra çapraz çarpımın büyüklüğünü hesaplıyoruz:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \end{vmatrix}=4\vv{i} +2\vv{j}-5\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{16+4+25} = \sqrt{45}$

Ve son olarak, formüldeki her bir terimin değerini, kesişen iki çizgi arasındaki mesafenin yerine koyarız:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{6}{\sqrt{45}}= \bm{0,89}$

Alıştırma 2

Kesişen iki çizgi arasındaki mesafeyi hesaplayın:

$r: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{1} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x+1}{2} = \cfrac{y+2}{-2} = \cfrac{z-1}{5}$

Çözüme bakın

Öncelikle yön vektörünü ve her doğru üzerinde bir noktayı tanımlamamız gerekiyor. Bu nedenle iki çizgi sürekli bir denklem biçiminde ifade edilir:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(3,1,-1) \\[2ex] A(2,4,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(2,-2,5) \\[2ex] B(-1,-2,1)\end{cases}$

Şimdi kesişen iki çizgi arasındaki mesafenin formülünü kullanıyoruz:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Karışık ürünü belirliyoruz:

$\vv{AB} = B - A = (-1,-2,1) - (2,4.-2) = (-3,-6,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \\[1.1ex] -3&-6&3 \end{vmatrix}\right| = \left| 69 \right| =69$

Daha sonra çapraz çarpımın büyüklüğünü hesaplıyoruz:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \end{vmatrix}=3\vv{i} -17\vv{j}-8\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{3^2+(-17)^2+(-8)^2} = \sqrt{9+289+64} = \sqrt{362}$

Ve son olarak, formüldeki her bilinmeyenin değerini, çapraz iki çizgi arasındaki mesafenin yerine koyarız:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{69}{\sqrt{362}}= \bm{3,63}$

Alıştırma 3

Kesişen iki çizgi arasındaki mesafeyi bulun:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x= -4t \\[1.7ex] y=2+3t \\[1.7ex] z=-1+t \end{cases}$

$\displaystyle s: \ (x,y,z)=(4,2,1)+t(3,2,-5)$

Çözüme bakın

Öncelikle yön vektörünü ve her doğru üzerinde bir nokta bulmamız gerekiyor. doğru

$r$

parametrik denklemler ve çizgi şeklindedir

$s$

vektör denklem formunda, dolayısıyla:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(-4,3,1) \\[2ex] A(0,2,-1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,2,-5) \\[2ex] B(4,2,1)\end{cases}$

Şimdi kesişen iki çizgi arasındaki mesafenin formülünü kullanıyoruz:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

Üçlü skaler çarpımı belirliyoruz:

$\vv{AB} = B - A = (4,2,-1) - (0,2,1) = (4,0,-2)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \\[1.1ex] 4&0&-2 \end{vmatrix}\right| = \left| -34 \right| =34$

Daha sonra çapraz çarpımın büyüklüğünü hesaplıyoruz:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \end{vmatrix}=-17\vv{i} -17\vv{j}-17\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{(-17)^2+(-17)^2+(-17)^2} = \sqrt{289+289+289} = \sqrt{867}$

Ve son olarak, formüldeki her bir terimin değerini, kesişen iki çizgi arasındaki mesafenin yerine koyarız:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{34}{\sqrt{867}}= \bm{1,15}$

Kesişen iki çizgi nedir?

Kesişen iki çizgi arasındaki mesafe nasıl hesaplanır

Kesişen iki çizgi arasındaki mesafenin nasıl bulunacağına ilişkin örnek

Kesişen iki çizgi arasındaki mesafe problemlerini çözme

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Yorum bırakın Yanıtı iptal et