Bu sayfada bir fonksiyonun ekstrapolasyonunun anlamı açıklanmaktadır. Ayrıca doğrusal ekstrapolasyonun nasıl gerçekleştirileceğine ve son olarak enterpolasyon ile ekstrapolasyon arasındaki farklara ilişkin bir örnek bulacaksınız.
Ekstrapolasyon nedir?
Ekstrapolasyonun tanımı aşağıdaki gibidir:
Matematikte ekstrapolasyon , bir fonksiyonun gözlemlenen aralığın dışındaki bir noktada aldığı değere yaklaşmak için kullanılan bir işlemdir.
Bu nedenle, ekstrapolasyon yaparken, aralığın sınırlarının ötesinde veriye sahip olmadığımız için her zaman fonksiyonun belirli bir şekilde olacağını varsayarız. Bu nedenle fonksiyonun bu yaklaşık değeri alacağı hiçbir zaman tam olarak garanti edilemez.
Enterpolasyon ve ekstrapolasyon arasındaki fark nedir?
Enterpolasyon ve ekstrapolasyon çok benzer anlamlara sahiptir, çünkü her ikisi de bir fonksiyonun değerinin bilinen iki noktadan bir noktada tahmin edilmesini içerir.
Ancak ekstrapolasyon, fonksiyonun değerini bu iki bilinen noktanın oluşturduğu aralığın dışında bulunan bir noktada tahmin etmek anlamına gelir. Bunun yerine enterpolasyon, bu iki bilinen noktanın oluşturduğu aralık içindeki bir noktaya yaklaşmayı içerir.
Yukarıdaki grafikte görüldüğü gibi bilinen noktalar (2,3) ve (6,5)’tir. Bu durumda bilinen noktalar arasında olduğu için x=4’te enterpolasyon yapmak istiyoruz, diğer taraftan bilinen aralığın dışında olduğu için x=8’de ekstrapolasyon yapmak istiyoruz.
Açıkçası, enterpolasyonlu bir değer, ekstrapolasyonlu bir değerden çok daha güvenilirdir çünkü ekstrapolasyonda fonksiyonun benzer bir yol izleyeceğini varsayarız. Ancak fonksiyonun eğiminin bilinen aralığın sınırları dışında değişmesi ve tahminin hatalı olması mümkündür. Bu nedenle, değerin tahmini, ekstrapole edilen nokta bilinen aralığa kapalı olduğundan daha güvenilirdir.
doğrusal ekstrapolasyon
Doğrusal olarak ekstrapolasyon yapmak, fonksiyonu doğrusal veya afin bir fonksiyona, yani 1. dereceden bir polinom fonksiyonuna yaklaştırmak anlamına gelir.
Doğrusal ekstrapolasyonu gerçekleştirmenin en basit yolu Newton polinom enterpolasyonudur. Bu durumda, fonksiyonun bir noktadaki değerini tahmin etmeye çalışmak için birinci dereceden bir polinom kullanılır.
Bilinen iki nokta göz önüne alındığında,
Ve
doğrusal ekstrapolasyonu gerçekleştirme formülü şöyledir:
Altın
Ve
tahmin edilen noktanın koordinatlarıdır.
Bu formülün doğrunun nokta-eğim denklemine karşılık geldiğini doğrulayabiliriz.
Doğrusal ekstrapolasyon örneği
Daha sonra doğrusal ekstrapolasyon kavramını anlamayı tamamlamak için örnek olarak bir problem göreceğiz:
- Otobüs yolculuğunun kişi başı fiyatı, kat edilen kilometreye doğrusal olarak bağlıdır. 70 km yapmanın maliyeti 15 €, 120 km’nin maliyeti ise 20 €’dur. 150 km’lik yolculuğun maliyetini hesaplayınız.
İlk olarak, kat edilen kilometreyi yolculuğun fiyatıyla ilişkilendiren doğrusal fonksiyonu tanımlamamız gerekiyor. Bu durumda X kat edilen kilometre, Y ise fiyat olacaktır. Çünkü kat edilen kilometreye göre fiyat değişecektir, yani kat edilen kilometreye göre fiyat değişir, tersi olmaz.
İfadeden fonksiyonun (70.15) ve (120.20) noktalarından geçtiğini biliyoruz. Bu nedenle, noktaya ekstrapolasyon yapmak için formülü uygulamak yeterlidir.
Noktaların değerlerini denklemde değiştiririz:
Ve hesaplamaları yapıyoruz:
Yani 150 km’lik bir yolculuk yapmanın maliyeti 23 € olacaktır.
Bu şekilde alıştırmayı zaten çözmüş olduk, gördüğünüz gibi çok karmaşık değil. Aklınıza takılan soruları yoruma bırakabileceğinizi unutmayın!