Düzlemin vektör denklemi

Bu sayfada düzlem vektör denklemini (formül) ve hesaplama örneklerini bulacaksınız. Ayrıca düzlemin vektör denklemiyle ilgili alıştırmalar ve çözülmüş problemlerle pratik yapabileceksiniz.

Bir düzlemin vektör denklemi nedir?

Analitik geometride bir düzlemin vektör denklemi , herhangi bir düzlemin matematiksel olarak ifade edilmesini sağlayan bir denklemdir. Bir düzlemin vektör denklemini bulmak için yalnızca bir noktaya ve o düzleme ait iki doğrusal bağımsız vektöre ihtiyacımız var.

Düzlemin vektör denkleminin formülü

Bir düzlemin bir nokta ve iki yön vektörünü düşünün:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

Bir düzlemin vektör denkleminin formülü şöyledir:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

Altın

$\lambda$

$\mu$

iki skalerdir, yani iki gerçek sayıdır.

Dolayısıyla bu, bir düzlemdeki herhangi bir noktanın, 1 nokta ve 2 vektörün doğrusal birleşimi olarak ifade edilebileceği anlamına gelir.

Ayrıca önceki denklemin bir düzleme karşılık gelmesi için gerekli koşul, düzlemin iki vektörünün doğrusal bağımsızlığa sahip olmasıdır, yani iki vektör birbirine paralel olamaz. diğer.

Öte yandan, vektör denkleminin yanı sıra, düzlemin parametrik denklemi ve düzlemin örtülü denklemi gibi bir düzlemi analitik olarak ifade etmenin başka yollarının da olduğunu unutmayın. Bağlantılardan her denklem türünün ne olduğunu kontrol edebilirsiniz.

Bir düzlemin vektör denkleminin nasıl bulunacağına ilişkin örnek

Düzlemin vektör denklemi kavramının açıklamasını gördükten sonra bir örnek üzerinden nasıl hesaplandığına bakalım:

Noktadan geçen düzlemin vektör denklemini bulun
$P(2,0,4)$

ve vektörleri içerir

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2)$

Ve

$\vv{\text{v}}=(5,0,1).$

Düzlemin vektör denklemini belirlemek için formülü uygulamanız yeterlidir:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

Şimdi noktayı ve her vektörü denklemde yerine koyuyoruz:

$\bm{(x,y,z)=(2,0,4)+\lambda (1,3,-2) + \mu (5,0,1)}$

Örnekte de görebileceğiniz gibi bir düzlemin vektör denklemini bulmak nispeten kolaydır. Bununla birlikte, problemler biraz karmaşıklaşabilir, bu nedenle aşağıda farklı zorluk derecelerinde birkaç çözülmüş alıştırma bulacaksınız, böylece pratik yapabilirsiniz.

Düzlem Vektör Denklemi Çözülmüş Sorunlar

1. Egzersiz

Vektörü içeren düzlemin vektör denklemini belirleyin

$\vv{\text{u}}=(0,-2,3)$

ve aşağıdaki iki noktadan geçer:

$A(1,3,-1)$

$B(2,-1,5).$

Çözüme bakın

Bir düzlemin denklemini bilmek için bir noktaya ve iki vektöre ihtiyacınız vardır ve bu durumda elimizde yalnızca bir vektör vardır, dolayısıyla düzlemin başka bir yönlendirici vektörünü bulmamız gerekir. Bunu yapmak için düzlemin iki noktasını tanımlayan vektörü hesaplayabiliriz:

$\vv{AB} = B - A = (2,-1,5) - (1,3,-1) = (1,-4,6)$

Artık düzlemin iki yön vektörünü ve bir noktayı zaten bildiğimize göre, düzlemin vektör denklemi formülünü kullanıyoruz:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

Ve iki vektörü ve düzlemdeki iki noktadan birini denklemde yerine koyarız:

$\bm{(x,y,z)=(1,3,-1)+\lambda (0,-2,3) + \mu (1,-4,6)}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki üç noktayı içeren düzlemin vektör denklemini bulun:

$A(2,-2,1) \qquad B(1,0,4) \qquad C(-1,3,-2)$

Çözüme bakın

Düzlemin vektör denklemini bulmak için düzleme bağlanan iki doğrusal bağımsız vektör bulmamız gerekir. Bunun için de 3 noktayla tanımlanan iki vektörü hesaplayabiliriz:

$\vv{AB} = B - A = (1,0,4) - (2,-2,1) = (-1,2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (-1,3,-2) - (2,-2,1) = (-3,5,-3)$

Bulunan iki vektörün koordinatları orantılı olmadığından birbirlerinden doğrusal olarak bağımsızdırlar.

Artık iki yön vektörünü ve düzlemin bir noktasını zaten bildiğimize göre, düzlemin vektör denklemi formülünü uyguluyoruz:

$(x,y,z)=P+\lambda \vv{\text{u}} + \mu \vv{\text{v}}$

Ve iki vektörü ve düzlemin üç noktasından birini denklemde yerine koyarız:

$\bm{(x,y,z)=(2,-2,1)+\lambda (-1,2,3) + \mu (-3,5,-3)}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki vektör denklemiyle tanımlanan düzleme ait uzaydaki 4 noktayı hesaplayın:

$(x,y,z)=(0,2,1)+\lambda (2,-1,4) + \mu (-1,3,0)$

Çözüme bakın

Düzlemdeki bir noktayı hesaplamak için parametrelere herhangi bir değer vermeniz yeterlidir.

$\lambda$

$\mu .$

Henüz:

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(0,2,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =0 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 0\cdot (-1,3,0)= \bm{(2,1,5)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =0 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+0\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(-1,5,1)}$

$\left. \begin{array}{c} \lambda =1 \\[2ex] \mu =1 \end{array} \right\} \longrightarrow \ (0,2,1)+1\cdot (2,-1,4) + 1\cdot (-1,3,0)= \bm{(1,4,5)}$

Alıştırma 4

Doğruyu içeren düzlemin vektör denklemini bulun

$r$

ve sağa paralel

$s.$

çizgiler olmak üzere:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=4+2t \\[1.7ex] y=-1+t\\[1.7ex] z=5-4t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{4}= \frac{z+1}{-3}$

çözümü gör

Düzlemin vektör denklemini bulmak için iki yön vektörünü ve söz konusu düzlemin bir noktasını bilmemiz gerekir. Talimat bize satırı içerdiğini söylüyor

$r$

Dolayısıyla düzlemi tanımlamak için yön vektörünü ve bu doğru üzerindeki bir noktayı alabiliriz. Ayrıca bu ifade bize düzlemin doğruya paralel olduğunu söyler.

$s,$