Dik veya dik vektörler

Bu sayfada dik (veya dik) vektörler hakkında her şeyi bulacaksınız: ne oldukları, iki vektör dik olduğunda, diğerine dik bir vektörün nasıl bulunacağı, dik vektörlerin özellikleri… Ayrıca, şunları görebileceksiniz: dik veya dik vektörler için çeşitli örnekler ve çözülmüş alıştırmalar.

İki dik veya dik vektör nedir?

Matematikte, iki vektör birbirlerine dik (90°) açı oluşturduklarında ortogonaldir (veya diktir ).

Aşağıdaki grafikte birbirine dik iki vektör görebilirsiniz:

iki vektörün dik veya dik olduğu söylendiğinde

Öte yandan, iki vektörün dikliği modüllerine (veya büyüklüklerine) veya tabii ki yönlerine değil, yalnızca yönlerine bağlıdır. Yani, aynı uzunlukta olsun veya olmasın, iki vektör 90 derecelik açı yapıyorsa dik olacaktır.

İki vektörün dik mi dik mi olduğunu nasıl anlarsınız?

Az önce gördüğümüz gibi iki vektörün birbirine dik olup olmadığını grafiksel olarak görmek çok kolaydır. Ancak iki vektörün grafiğini çizmeden de dik olup olmadığını belirleyebilirsiniz:

Sayısal olarak, iki vektörün nokta çarpımları sıfır (0) olduğunda, iki vektör dik veya diktir .

Örneğin, aşağıdaki iki vektörün grafiğini çizmeden dik olduklarını göstereceğiz:

$\vv{\text{u}}=(3,2) \qquad\vv{\text{v}}=(-2,3)$

Bunların dik (veya dik) vektörler olup olmadığını kontrol etmek için skaler çarpım formülünü uygularız:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(3,2)\cdot (-2,3) \\[1.5ex]&=3\cdot (-2) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -6+6 \\[1.5ex] & =\bm{0} \end{aligned}$

İki vektörün nokta çarpımının sonucu sıfırdır, dolayısıyla bunlar birbirine dik (veya dik) iki vektördür .

$\vv{\text{u}}\bm{\perp} \vv{\text{v}}$

İki vektörün sembolüyle dik olarak gösterildiğine dikkat edin.

$\bm{\perp}}.$

Bu nedenle iki dik vektör arasındaki nokta çarpım sıfırdır. Bununla birlikte, iki vektörün vektör çarpımı (vektörler arasındaki başka bir çarpma türü) tam tersini verir: diğer ikisine dik bir vektör. Bu nedenle, iki işlem türünü nasıl ayırt edeceğinizi bilmek önemlidir; aralarındaki farkları çapraz çarpımın özelliklerinde görebilirsiniz.

Bir vektörün diğerine dik veya dik olması nasıl hesaplanır?

Düzlemde (R2’de) diğerine dik bir vektörü hesaplamanın en basit yolu, vektörün iki koordinatını serpiştirmek ve ayrıca işaretini bir olarak değiştirmektir.

Ve uzayda (R3’te) diğerine dik bir vektör elde etmek için, iki koordinatı birbiriyle araya koymak, ardından bunlardan birinin işaretini değiştirmek ve son olarak koordinatı kalan sıfıra ayarlamak gerekir.

2 veya 3 koordinata sahip olmalarına bağlı olarak bir ortogonal vektörün diğerine hesaplanmasındaki farklılıkları görebilmeniz için, her vektör türüyle bir alıştırma çözeceğiz.

Kartezyen düzlemde dik veya dik bir vektör bulun

Aşağıdaki iki boyutlu vektöre dik bir vektör belirleyin:

$\vv{\text{v}}=(4,1)$

Yalnızca iki bileşenli bir vektör olduğundan dik bir vektör elde etmek için bileşenlerini değiştirmek ve bunlardan birini olumsuzlamak gerekir:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(-1,4)}$

Nokta çarpım formülünden bunların gerçekten dik vektörler olduğunu doğrulayabiliriz:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(4,1)\cdot (-1,4) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Kartezyen uzayda dik veya dik bir vektör belirleme

Aşağıdaki üç boyutlu vektöre dik bir vektör hesaplayın:

$\vv{\text{v}}=(2,3,-1)$

Bu durumda elimizde üç bileşenli bir vektör var, dolayısıyla dik bir vektör elde etmek için bileşenlerinden ikisini değiştirmemiz, bunlardan birinin işaretini değiştirmemiz ve kalan koordinatı sıfıra dönüştürmemiz gerekiyor:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(3,-2,0)}$

Bunların gerçekten dik vektörler olduğunu skaler çarpım formülüyle kontrol edebiliriz:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(2,3,-1)\cdot (3,-2,0) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Dik ve dik vektörlerin özellikleri

Dik vektörler aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Simetrik ilişki : Bir vektör başka bir vektöre dikse bu vektör de birinci vektöre diktir.

$\vv{\text{u}} \bm{\perp} \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \bm{\perp} \vv{\text{u}}$

Yansımama özelliği : Açıkçası hiçbir vektör kendisine dik olamaz.

$\vv{\text{v}} \ \cancel{\bm{\perp}}} \ \vv{\text{v}}$

Öklid geometrisinde (R2’de), üçüncü bir vektöre dik olan herhangi bir vektör çifti zorunlu olarak paralel olmalıdır. Yani, eğer bir vektör başka bir vektöre dikse ve bu vektör de üçüncü bir vektöre dikse, ilk ve son vektörler paraleldir. Bu Öklid’in beşinci postülasından kaynaklanmaktadır.

Öte yandan bu özellikleri sayesinde tirbuşon kuralının kullanılabileceğini de bilmelisiniz. Bu teknik, bu kural olmadan çözülmesi uzun zaman alacak bir tür vektör işleminin hesaplanmasını kolaylaştırır. Tirbuşon kuralı açıklamasına tıklayarak bunun ne olduğunu görebilirsiniz.

Dik veya dik vektörlerle ilgili kavramlar

Dik vektörlere çok yakın iki tür vektör vardır: normal vektörler ve ortomarle vektörler. Hepsi birbiriyle ilişkili olsa da olası bir karışıklığı önlemek için nasıl farklı olduklarını açıklığa kavuşturmak istiyoruz.

Normal bir vektör, bir düzleme dik bir vektördür. Dolayısıyla bir vektörün diklik kavramına da dahil edilebilir ancak bu durumda başka bir vektör yerine bir düzleme diktir.

Öte yandan, iki ortonormal vektör , ayrıca birim vektörler olan (1’e eşit büyüklükte) karşılıklı iki dik vektördür.

Son olarak, ortogonal tabanların (birbirine dik vektörlerden oluşan vektör tabanları) ve hatta ortonormal tabanların kullanılmasının çok yaygın olduğu da belirtilmelidir. Aslında Kartezyen referans çerçevesi ortonormal bir tabandır.