3×3'lük bir matrisin determinantını sarrus kuralıyla hesaplayın

Bu sayfada 3×3 kare matrisin determinantının ne olduğunu öğreneceksiniz. Sarrus kuralını kullanarak 3. dereceden determinantları nasıl çözeceğinizi göreceksiniz. Ayrıca adım adım çözülmüş örnekler ve alıştırmalar da var, böylece pratik yapabilir ve mükemmel bir şekilde anlayabilirsiniz.

3×3’lük bir matrisin determinantı nedir?

3. dereceden bir determinant, matrisin her iki tarafında dikey bir çubukla temsil edilen 3×3 boyutlu bir matristir. Örneğin aşağıdaki matrise sahipsek:

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{pmatrix}

A matrisinin determinantı aşağıdaki gibi temsil edilir:

\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{vmatrix}

Gördüğünüz gibi 3. mertebeden bir kare matrisin determinantını yazmak kolaydır. Şimdi bunu nasıl çözeceğimize bakalım:

3. dereceden bir determinant nasıl hesaplanır?

3×3 matrislerin determinantlarını oluşturmak için Sarrus kuralını uygulamanız gerekir:

Sarrus kuralı

Sarrus kuralı, 3. dereceden bir determinantı hesaplamak için, büyük köşegenin elemanlarının çarpımını ve paralel köşegenlerinin çarpımını karşılık gelen zıt köşelerle toplamamız, ardından küçük köşegenin elemanlarının çarpımını çıkarmamız gerektiğini söylüyor ve paralel köşegenlerinin karşılık gelen zıt köşeleriyle çarpımı.

Bu şekilde yazınca anlaşılması biraz zor olabilir ama 3×3 determinant hesaplamasının nasıl yapıldığına aşağıdaki diyagram ve örneklerle bakın:

3×3 determinant örnekleri:

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 \cdot 2- (-1) \cdot 1 \cdot 1 \\ & = 2 + 0 -12 +6 - 0 +1 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 4 & -3 & -1 \end{vmatrix} & = 1\cdot 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 4 +3 \cdot (-3) \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1 \cdot 1- 3 \cdot 0 \cdot (-1) \\ & = -2 +0 -18 - 16 +3- 0 \\[2ex] & = \bm{-33} \end{aligned}

3 × 3 matrislerin determinantlarının çözülmüş problemleri

1. Egzersiz

Aşağıdaki 3×3 determinantını çözün:

3x3'lük bir matrisin determinantının somut örneği

3×3’lük bir matrisin determinantını çözmek için Sarrus kuralını uygulamalıyız:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) \cdot 2- 3 \cdot 1 \cdot 4 \\ & = 8 -2 +0 -0- 0-12 \\[2ex] & = \bm{-6} \end{aligned}

Alıştırma 2

3. dereceden aşağıdaki determinantı hesaplayın:

3x3'lük bir matrisin determinantının adım adım çözülmesi alıştırması

Üçüncü dereceden bir matrisin determinantını hesaplamak için Sarrus kuralını kullanmalıyız:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} & = 1 \cdot 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 \\ & = 4 -6 -4 -6+1+16 \\[2ex] & = \bm{5} \end{aligned}


Alıştırma 3

Aşağıdaki 3×3 matrisin determinantının çözümünü bulun:

3x3 matrislerin determinantları için adım adım çözülen alıştırmalar

3×3’lük bir matrisin determinantını oluşturmak için Sarrus kuralını kullanmalıyız:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 2 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} & = \\ & = 1 \cdot (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot (-2) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - (-1) \cdot (-3) \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[2.5ex] & = -15 -12 -8 +6-8-30 \\[2.5ex] & = \bm{-67} \end{aligned}

Alıştırma 4

Aşağıdaki 3. mertebeden matrisin determinantının çözümünü bulun:

3x3'lük bir matrisin determinantının çözülmüş alıştırması

3×3’lük bir matrisin determinantının çözümünü bulmak için Sarrus formülünü uygulamalıyız:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 6 & 1 & -2 \\[1.1ex] 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} & = \\ & = 3 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) \cdot 4 + 6 \cdot (-3) \cdot (-1) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) - (-3) \cdot (-2) \cdot 3 - 6 \cdot 1 \cdot 2 \\[2.5ex] & =6 -8 +18 +4-18-12 \\[2.5ex] & = \bm{-10} \end{aligned}

Alıştırma 5

değerini bul

a

aşağıdaki üçüncü dereceden determinantı iptal eder:

3. dereceden determinantlar için adım adım çözülen alıştırmalar

İlk önce Sarrus kuralıyla determinantın değerini aşağıdakinin bir fonksiyonu olarak hesaplıyoruz:

a :

\displaystyle\begin{aligned}\begin{vmatrix} 4 & 6 & -5 \\[1.1ex] -2 & 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & a \end{vmatrix} & = \\ & = 4 \cdot 4 \cdot a + 6 \cdot 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 \cdot (-5) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=}- (-1) \cdot 4 \cdot (-5) - 2 \cdot 2 \cdot 4 - (-2) \cdot 6 \cdot a \\[2.5ex] & = 16a -12 + 20 - 20 - 16 +12a \\[2.5ex] & = 28a -28 \end{aligned}

Determinantın ortadan kalkması için sonucun 0 olması gerekir. Bu nedenle sonucu 0’a eşitleyip denklemi çözüyoruz:

28a-28=0

28a=28

a=\cfrac{28}{28} = \bm{1}


Yorum bırakın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Scroll to Top