Binom dördüncüsü

Bu sayfada binomun dördüncü kuvvetinin formülünü bulacaksınız ve bu tür binom işleminin nasıl çözüleceğini örneklerle açıklıyoruz. Ayrıca akranlardan dördüncü sınıfa kadar adım adım çözülen alıştırmalarla pratik yapabileceksiniz.

Çeyrek binom formülü

Matematikte, dördün üssü binom, 4’e yükseltilen iki terimden oluşan bir polinomdur.

Dolayısıyla çeyrek binom hesaplamak için kullanılan formül aşağıdaki gibidir:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Bu formül Newton’un genel binom formülünden türetilebilir. Aslında, Newton’un binomunu kullanarak herhangi bir kuvvete yükseltilmiş binomları hesaplayabilirsiniz, bu nedenle Newton’un binom formülünü öğrenmek en iyisidir. Önceki bağlantıya tıklayın ve bu formülün neye benzediğini öğrenin.

Bu nedenle, dördüncüdeki bir binom, dördüncüye yükseltilmiş birinci terim artı 4 çarpı birinci terimin küpü ve ikinci terimin çarpımı, artı birinci ve ikinci terimlerin karesi çarpı 6 artı 4 çarpı çarpımına eşittir. birinci terim, 3’e çıkarılan ikinci terimle çarpılır, artı ikinci terim dördüncüye yükseltilir.

Bu formül binom toplamına karşılık gelir (iki öğesi pozitiftir), ancak dördüncüye yükseltilmiş binom çıkarma formülünde ikinci ve dördüncü çarpımların işaretleri negatiftir:

$(a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4$

Dördüncü sınıftaki akran örnekleri

Bu tür bir binomun formülü göz önüne alındığında, bir binomun dördüncüye çözümüne ilişkin birkaç örnek göreceğiz. Önce pozitif bir binom hesaplayacağız, sonra negatif bir binom çözeceğiz.

örnek 1

Aşağıdaki binomun dördüncüye yükseltilmiş halini hesaplayın:

$(x+2)^4$

4’üncüye yükseltilmiş bir toplam binomun kuvvetinin formülü şöyledir:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Dolayısıyla, alıştırmanın binomunu hesaplamak için, formüldeki iki terim miktarının yerine koymanız yeterlidir:

$(x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4$

Ve son olarak işlemleri çözüyoruz:

$\begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}$

Örnek 2

Aşağıdaki binomun dördüncüye yükseltilmiş halini bulun:

$(x-3)^4$

4’üncüye yükseltilmiş bir fark binomunun potansiyelleştirme formülü aşağıdaki gibidir:

$(a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$

Bu nedenle, problemin binomunu belirlemek için formüldeki değişkenleri binom değerlerinin yerine koymanız yeterlidir:

$(x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4$

Ve son olarak ortaya çıkan işlemleri çözüyoruz:

$\begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}$

Binom formülünün dördüncüde gösterilmesi

Dördüncüye yükseltilmiş binom kavramını araştırmak için formülünü çeşitli şekillerde göstereceğiz.

4’e yükselen herhangi bir çiftten:

$(a+b)^4$

Bir binomun dördüncüye cebirsel ifadesi, onu asal faktörlere genişleterek çarpanlara ayrılabilir:

$(a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)$

Böylece polinomların her çarpımını çözerek dördüncüye yükseltilmiş binomun formülüne ulaşırız:

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Öte yandan, binomun dördüncü katına ilişkin formül , binomun küp formülü kullanılarak da doğrulanabilir:

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Aynı şekilde, kayda değer ürünler (veya dikkate değer kimlikler) aracılığıyla da kanıt elde edilebilir. Örneğin, bir toplamın karesinin dikkate değer çarpımı formülünü kullanarak:

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Buna göre, bir çıkarma işleminin karesi için dikkate değer özdeşlik formülü, bir binom çıkarma formülünü doğrulamak için kullanılır:

$\begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}$

Dördüncü sınıftaki akranlar için çözülmüş alıştırmalar

Dördüncüye yükseltilmiş binomların aşağıdaki kuvvetlerini çözün:

$\text{A)} \ (x+1)^4$

$\text{B)} \ (2x+3)^4$

$\text{C)} \ (x-4)^4$

$\text{D)} \ (x^2+y)^4$

çözümü gör

$\text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex] & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex] & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex] & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex] & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex] & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}$

Dördüncü olarak eşleştir