Çakışmalı çizgiler

Burada çakışan çizgilerle ilgili her şeyi bulacaksınız: ne anlama geldikleri, iki doğrunun çakışık olup olmadığının nasıl belirleneceği, özellikleri vb. Ayrıca çakışan doğrularla ilgili örnekleri ve çözülmüş alıştırmaları görebileceksiniz.

İki çakışan çizgi nedir?

İki çakışık doğru, tüm noktaları ortak olan iki doğrudur. Bu nedenle çakışan iki doğru tamamen aynıdır.

Örneğin, aşağıda grafiği çizilen iki çakışan çizgi var, sadece birini görüyorsunuz çünkü bunlar üst üste geliyor (eşit).

İki çakışan çizgi her zaman aynı yöne sahiptir, dolayısıyla geometrik olarak 0°’lik bir açı oluştururlar.

Öte yandan, düzlemde iki doğru arasındaki göreceli konum kavramında 4 olasılık olduğunu unutmayın: iki doğru çakışık, paralel , kesen ve dik olabilir. İsterseniz her çizgi türünün anlamını ve aralarındaki farkı bu 3 bağlantıdan inceleyebilirsiniz.

İki çizginin çakıştığını nasıl anlarsınız?

İki çizginin ne zaman çakıştığını bilmek, iki koordinatla mı (R2’de) yoksa üç koordinatla mı (R3’te) çalıştığınıza bağlıdır.

Düzlemde çakışan iki doğruyu belirleyin

İki boyutlu (2 boyutlu) uzayda işlem yaptığımızda, iki doğrunun ne zaman çakıştığını, ne zaman çizginin örtülü denkleminden ya da açık denkleminden ortaya çıkmadığını görmek çok kolaydır.

Bu iki yolun dışında, iki doğrunun denklemlerinden oluşan denklem sistemini çözerek de iki doğrunun çakışıp çakışmadığını kontrol edebiliriz (eğer sistem sonsuz çözümler veriyorsa bu onların çakıştığı anlamına gelir). Ancak bu prosedür daha karmaşık ve zaman alıcı olduğundan bunu ayrıntılı olarak açıklamayacağız çünkü bunu örtülü denklemin veya açık denklemin katsayılarından yapmak daha iyidir.

Doğrunun örtülü (veya genel) denkleminden

İki doğrunun çakışıp çakışmadığını anlamanın bir yolu, genel veya Kartezyen denklem olarak da bilinen doğrunun örtülü denklemini kullanmaktır.

Doğrunun örtülü denklemi aşağıdaki ifadeye karşılık gelir:

$Ax+By+C=0$

Eğer iki doğrunun üç orantı katsayısı (A, B ve C) varsa , bu onların çakıştığı anlamına gelir.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Örneğin aşağıdaki iki satır eşleşiyor:

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

Ve çakışıyorlar çünkü A, B ve C parametreleri birbiriyle orantılı:

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

Doğrunun açık denkleminden

İki doğrunun gerçekten çakışıp çakışmadığını bulmanın bir başka yolu da doğrunun açık denklemini kullanmaktır. Doğrunun açık denkleminin aşağıdaki gibi olduğunu hatırlayın:

$y=mx+n$

Eğer iki doğru aynı eğime (katsayı m) ve orijinde aynı ordinata (katsayı n) sahipse, bunlar birleştirilmiş iki doğrudur.

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Örneğin, aşağıdaki iki doğru aynıdır çünkü başlangıçta eşdeğer eğimlere ve ordinatlara sahiptirler:

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

Aynı eğime sahip olsalar ancak başlangıç noktasında farklı şekilde sıralansalardı, çakışmayan doğrular değil, paralel olacakları unutulmamalıdır.

Son olarak, örnekte görebileceğiniz gibi, çakışan iki doğru aynı açık denkleme sahiptir. Bu, her türlü çizgi denklemi için geçerlidir: Eğer denklemde iki doğru çakışıyorsa, bu onların çakıştığı anlamına gelir.

uzayda çakışan iki çizgiyi bulun

Uzayda (R3’te) çakışan iki çizgiyi tanımlamak Kartezyen düzlemdekinden (R2’de) farklıdır çünkü hesaplamaların bir koordinat daha ile yapılması gerekir. Peki nasıl yapıldığına bakalım:

Uzaydaki iki farklı doğrunun denklemleri verildiğinde:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

Ve M ve M’ doğruların katsayılarından oluşan matrisler olsun:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

O halde, M ve M’ matrislerinin sıralaması 2’ye eşitse iki doğru çakışır.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

Adım adım çözülen bir alıştırmayla uzayda çakışan çizgilerin bir örneğini görelim:

Aşağıdaki iki satırın eşleşip eşleşmediğini belirleyin:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

Çizgilerin katsayılarının matrisi M ve genişletilmiş matrisi M’ şöyledir:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

Her iki matrisi de oluşturduktan sonra her matrisin aralığını hesaplamamız gerekir:

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

İki matrisin dereceleri eşdeğerdir ve üstelik 2 değerindedirler. Bu nedenle iki doğru birbirine karışmıştır.