Tamsayı kümesi tüm pozitif ve negatif sayıların birleşimidir. Bu yazımızda bu sayıların özelliklerinden, sayı doğrusunda nasıl temsil edildiklerinden, onlarla hangi işlemleri yapabileceğinizden ve çok daha fazlasından bahsedeceğiz.
Tamsayılar nedir?
Tam sayıların tümü doğal ve negatif sayılardır, ondalık sayılar değildir. Bu nedenle matematikte tam sayılar kümesi, tüm doğal sayılar kümesi artı negatif sayılar ve sıfır sayısı kümesidir. Bu küme de rasyonel sayılar kümesinin bir alt kategorisidir.
Tamsayılar doğal sayılar artı negatif sayılardır. Bu nedenle tamsayılar şu aralığı içerir: {-∞, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …, ∞}. Bu nedenle tam sayıları anlayabilmek için doğal sayılar kümesini ve bunların tersini (negatiflerini) iyi anlamak hayati önem taşımaktadır.
Z sayılarının alt kümeleri
Şu ana kadar anlattıklarımızdan iki tür tamsayı olduğu sonucunu çıkarabiliriz: pozitif (doğal) tam sayılar ve negatif (negatif) tam sayılar. Bu iki sayı kümesine tam sayıların alt kümeleri denir.
Ancak çift ve tek sayılar, asal ve bileşik sayılar gibi diğer alt kümeleri de yükseltebiliriz. Çünkü aritmetiğe uygulanan küme teorisi, sayıları onları tanımlayan herhangi bir matematiksel özelliğe göre gruplandırmamıza olanak tanır.
Tam sayı örnekleri
Tam sayının ne olduğunu biraz açıklığa kavuşturmak için aşağıda sırayla bazı örnekler verilmiştir:
-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Gördüğünüz gibi bunlar ilk sekiz pozitif sayı (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8), sıfır ve önceki doğal sayıların karşılıklarıdır. Açıkçası bu on yedi örnek bütünün sadece bir kısmı . Ancak bu küçük değer grubundan herhangi bir tam sayıyı kavramsallaştırabilirsiniz.
Tam sayılar kümesinin özellikleri
Bu dijital setin bir takım özellikleri vardır:
- İki sonsuz sayısal kümeden (doğal sayılar ve negatifler) oluştuğu için sonsuzdur.
- Bu setteki tüm değerler işaretlenmiştir: sıfır hariç pozitif (+) veya negatif (-).
- Belli bir sıralamaları vardır: Negatif sayılar sıfırdan küçüktür ve pozitif sayılar sıfırdan büyüktür: Negatifler < 0 < Pozitifler.
- Tüm tamsayılar rasyoneldir ancak kesirli değildirler.
- Her pozitif tam sayıya karşılık, eşit fakat zıt işaretli bir negatif tam sayı vardır.
Tam sayıların gösterimi
Önceki bölümde tam sayıların sırası hakkında yorum yapmıştık. Ancak bunu daha net görebilmeniz için sayı doğrusunda temsil edildiğini göstereceğiz.
Gördüğünüz gibi bu sayı doğrusu doğal sayıların sayı doğruları ile negatif sayıların birleşiminden oluşuyor. Kısacası mutlak değeri en büyük olan negatif sayılar, sola doğru en uzağa giden (en küçük) sayılardır. Mutlak değeri en büyük olan pozitif sayılar ise en sağa (en büyük) doğru gidenlerdir.
Tam sayıların özellikleri
Tamsayılarla işlem yapmayı öğrenmeden önce bir dizi özelliği bilmek çok önemlidir. Bu sayede kolaylıkla ve hata yapmadan işlem yapabiliyoruz.
Bu listede size bu özellikleri gösteriyoruz:
- Değişmeli: İki tam sayı değerinin toplanması ve çarpılması dışında faktörlerin sırası önemli değildir. Yani, tüm a ve b tam sayıları için:
a + b = b + bir
ab = ba
- İlişkisel: Üç veya daha fazla tam sayı değerinin toplanması ve çarpılması dışında faktörlerin sırası önemli değildir. Bu nedenle, tüm a, b ve c tam sayıları için.
a + (b + c) = (a + b) + c
a · (b · c) = (a · b) · c
- Dağıtıcı: bir sayıyı bir toplamla çarpmak, ortak bölen almaya eşdeğerdir:
a(b + c) = ab + ac
- Nötr eleman: Tamsayılarla bir işleme katıldığında başlangıç değerini değiştirmeyen iki sayı vardır. Çarpma için 1, toplama için 0’dır.
a 1 = bir
+ 0 = ila
- Mutlak değer: Herhangi bir negatif tam sayı, işareti olmayan özdeş bir pozitif tam sayıya sahiptir. Bu aynı zamanda pozitif tamsayılar için de geçerlidir, ancak bir pozitifin mutlak değerinin kendisi pozitiftir.
|-a| = için
|bir| = için
Bu özellikler hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız işlemlerin matematiksel özellikleri hakkındaki yazımıza göz atmanızı öneririz.
Tam sayılarla işlemler
Artık Z (tamsayı) kümesinin özelliklerini, sırasının ne olduğunu ve bu kümenin işlemleri çözmedeki özelliklerini biliyorsunuz. Bu nedenle operasyonların kendisinden zaten bahsedebiliriz.
- Tam sayıların toplanması: Aynı işarete sahip iki tam sayıyı toplarsak, bunların mutlak değerlerini toplayıp önündeki işareti eklememiz yeterlidir. Ancak bir pozitif ile bir negatifi toplarsak mutlak değerlerini çıkarmalı ve mutlak değeri en büyük olan tam sayının işaretini yazmalıyız:
4 + 5 = 9
(-4) + (-5) = -9
4 + (-5) = -1
- Tam Sayılarda Çıkarma: İki tam sayıyı çıkarırken işaretler yasasını uygulamanız gerekir. Çünkü art arda birden fazla işareti olan çıkarma işlemlerini basitleştirmemize olanak tanıyor. Ve böylece bunları nasıl çözeceğimizi zaten bildiğimiz toplamlara dönüştürüyoruz (önceki bölümde açıklanmıştır). Aşağıdaki tabloda işaretler kanunu açıklanmaktadır:
(+) · (+) = (+)
(+) · (-) = (-)
(-) · (+) = (-)
(-) · (-) = (+)
Daha sonra bulabildiğimiz tüm vakaları sunuyoruz:
4 – 5 = 4 + (-5) = -1
5 – 4 = 5 + (-4) = 1
(-4) – 5 = (-4) + (-5) = -9
4 – (-5) = 4 + 5 = 9
(-4) – (-5) = (-4) + 5 = 1
(-5) – (-4) = (-5) + 4 = -1
- Tamsayı çarpımı: Tamsayı çarpımlarını çözmek için mutlak değerleri çarpmanız yeterlidir. Daha sonra yukarıda açıklanan işaretler yasasını kullanarak karşılık gelen işareti ekleyin. Şimdi size çarpma işleminin mevcut dört durumunu gösteriyoruz:
4 5 = 20
(-4) 5 = -20
4 · (-5) = -20
(-4) · (-5) = 20
- Tamsayıların bölünmesi: Son olarak bölmelerimiz var, bunları çözmek için mutlak değerlerin bölümünü yapmalı ve işaretler kanununa göre işareti eklemeliyiz. Daha sonra size bulabileceğiniz dört durumu gösteriyoruz:
20 ÷ 5 = 4
(-20) ÷ 5 = -4
20 ÷ (-5) = -4
(-20) ÷ (-5) = 4
Tam sayılar kümesi günlük hayatta nasıl kullanılır?
Tamsayılar kümesi günlük yaşamda çeşitli şekillerde kullanılır. Örneğin, bir şeyi ölçmeye çalışırken genellikle tam sayılar, özellikle de pozitif tam sayılar kullanılır.
Ayrıca toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi temel matematik hesaplamalarını gerçekleştirmek için de kullanılırlar. Bu, satın alma, para birimi hesaplama, yolculuk mesafesini ölçme, süreyi takip etme gibi yaptığımız tüm günlük eylemler için geçerlidir…
Tam sayıları günlük yaşamda kullanmanın diğer yolları arasında nesneleri sıralamak (örneğin, kitapları bir rafa alfabetik sıraya göre yerleştirmek) ve konumları takip etmek (örneğin, haritada bir bina bulmak) yer alır. Sonuç olarak, yaptığınız hemen hemen her şeyin onu çevreleyen tamsayı değerleri vardır.