Bu sayfada normalleştirilmiş bir vektörün anlamını ve herhangi bir vektörün nasıl normalleştirildiğini hem 2 hem de 3 boyutlu çeşitli örneklerle bulacaksınız. Ayrıca, bir vektörü normalleştirmeye yönelik araçları da bulacaksınız.
Bir vektörü normalleştirmek ne anlama gelir?
Bir vektörün normalleştirilmesi, onu aynı yönde ve aynı yönde ancak modülü 1’e eşit olan bir vektöre dönüştürmek anlamına gelir. Başka bir deyişle, bir vektörü normalleştirme işlemi, yönünü ve yönünü korurken uzunluğunu değiştirmeyi içerir.
Bu nedenle, normalleştirilmiş bir vektör esas olarak yön ve anlamı belirtmek için kullanılır.
Öte yandan, bir vektörü normalleştirdiğinizde aynı zamanda birim vektörü de hesaplamış olursunuz, çünkü birim vektör büyüklüğü 1 olan herhangi bir vektördür.
Bir vektörü normalleştirme formülü
Bir vektörü normalleştirmek için vektörün bileşenlerinin her birinin modülüne bölünmesi gerekir:
Altın
normalleştirilmiş vektörüdür
R2’de bir vektörü normalleştirme örneği
Örnek olarak aşağıdaki iki boyutlu vektörü normalleştireceğiz:
Öncelikle vektörün modülünü (veya genliğini) hesaplamamız gerekir. Nasıl yapılacağını hatırlamıyorsanız, burada bir vektörün büyüklüğü formülüne göz atabilirsiniz. Bu yüzden şu formülü kullanıyoruz:
Daha sonra normalleştirilmiş vektörü elde etmek için vektörü modülüne böleriz:
Normalde bir vektör normalleştirildiğinde kesir olarak kalır, ancak bunu sorunsuz bir şekilde ondalık sayılara aktarabilirsiniz.
R3’te bir vektörü normalleştirme örneği
Başka bir örnek görebilirsiniz, aşağıdaki üç boyutlu vektörü normalleştireceğiz:
İlk olarak vektörün büyüklüğünü hesaplıyoruz:
Ve son olarak normalleştirmek için vektörü modülüne böleriz:
Bir vektörü normalleştirmenin amacı nedir?
Vektör normalleştirme uygulamalarını görmek kolay değildir; hatta normalleştirilmiş bir vektörün “normal” bir vektörden daha kötü olduğu bile görülebilir, çünkü genellikle kesirleri vardır ve kesirlerle çalışmak daha zordur.
Ancak normalize edilmiş vektörler kullanılırsa bazı vektör işlemleri büyük ölçüde basitleştirilir. Örneğin, iki vektör arasındaki açıyı bulmak, her ikisinin de modülü (veya büyüklüğü) bire eşitse daha kolaydır. Ayrıca, iki vektörün oluşturduğu açı, bunların uzunluğuna değil yönüne bağlıdır; bu nedenle, önce iki vektörü normalleştirmek ve sonra oluşturdukları açıyı bulmak tamamen mümkündür.
İki vektör arasındaki açının nasıl hesaplandığı ve bunu normalleştirilmiş vektörlerle yapmanın neden daha kolay olduğuyla daha fazla ilgileniyorsanız, iki vektör arasındaki açı sayfasına göz atabilirsiniz. Burada tüm açıklamaları, örnekleri ve çözülmüş alıştırmaları bulacaksınız.
Normalleştirilmiş vektörlerin bu özelliği hesaplama düzeyinde çok faydalıdır. Çünkü tek bir vektör işlemini gerçekleştirmek için tasarruf ettiğiniz süre gerçekten çok azdır. Ancak bilgisayarda olduğu gibi onbinlerce işlemin gerçekleştirilmesi gerekiyorsa, önemli ölçüde zaman tasarrufu sağlanır.
Son olarak, yaygın olarak kullanılan vektör tabanları ortonormal tabanlardır çünkü bunlarla bir vektörün koordinatlarını ifade etmek daha kolaydır ve ayrıca doğrusal cebirde matrislerle yapılan birçok hesaplamayı kolaylaştırırlar. Bu tür bazların tüm vektörleri normalleştirilmiş vektörlerdir. Örneğin Kartezyen koordinat sistemi ortonormal bir temeldir.
Sonuç olarak, vektörler arasındaki tüm işlemler onlarsız yapılabileceği için normalize edilmiş vektörler kesinlikle gerekli değildir, ancak hesaplamaları büyük ölçüde kolaylaştırırlar.