Bir polinomun derecesi

Bu sayfada bir polinomun derecesinin ne olduğunu (mutlak derece ve bağıl derece) ve bir polinomun derecesinin nasıl bilineceğini açıklıyoruz. Ayrıca bir polinomun derecesinin nasıl belirlendiğine dair birkaç örnek görebileceksiniz ve ayrıca polinomların derecelerine göre nasıl sınıflandırıldığını da göreceksiniz.

Bir polinomun derecesi nedir?

Bir polinomun derecesinin tanımı aşağıdaki gibidir:

Matematikte bir polinomun derecesi, polinom değişkeninin yükseltildiği en büyük üstür.

Örneğin, aşağıdaki polinom 5. derecedendir çünkü terimlerinin üslerinin maksimum değeri 5’tir:

$P(x) = x^5+2x^4+6x^2-3$

Çok basit bir kavram gibi görünse de, bir polinomun derecesinin nasıl belirleneceğini bilmek, polinomları doğru şekilde toplayıp çıkarabilmek için çok önemlidir.Polinomların toplanması ve polinomların çıkarılması örneklerinde bunun neden bu kadar önemli olduğunu öğrenin; ayrıca polinomlarla bu iki tür işlemin çözümlü alıştırmalarıyla pratik yapabilirsiniz.

Polinomların Derecelerine Örnekler

Bir polinomun derecesini nasıl belirleyeceğimizi öğrendikten sonra, anlamını anlamak için diğer örneklere bakalım:

Sıfır dereceli bir polinom örneği:

$P(x) = 4$

Birinci dereceden polinom örneği:

$P(x) = 3x+2$

İkinci dereceden polinom örneği:

$P(x) = x^2+7x-4$

Üçüncü dereceden polinom örneği:

$P(x) = 2x^3+5x^2-9$

Dördüncü derece polinom örneği:

$P(x) = 6x^4+3x^2-7x+1$

İki veya daha fazla değişkenli bir polinomun derecesi nasıl bilinir?

Tek değişkenli, yani tek değişkenli bir polinomun derecesinin nasıl belirlendiğini gördük. Peki çok değişkenli bir polinomun derecesi nedir?

Cebirde, birden fazla değişkene sahip olduğunda iki tür polinom derecesi vardır:

Mutlak derece : Mutlak derece, polinomu oluşturan monomların maksimum derecesine karşılık gelir
Göreceli derece : Belirli bir değişkene göre göreceli derece, söz konusu değişkenin en büyük üssüne karşılık gelir.

Açıkçası, bir polinomun mutlak derecesini belirlemek için 2 veya daha fazla değişkenli bir monomiyalin derecesinin nasıl hesaplandığını bilmeniz gerekir; bu nedenle, bunun nasıl yapıldığını hatırlamıyorsanız, parçalarla ilgili sayfamıza göz atmanızı öneririz. bir monomiyalin . Bu sayfada bir tek terimlinin tüm kısımlarına ilişkin bir açıklama ve daha spesifik olarak çok değişkenli bir tek terimlinin derecesinin nasıl belirleneceğini bulacaksınız.

Örnek olarak aşağıdaki 3 değişkenli polinomun mutlak ve bağıl derecelerini bulacağız:

$P(x,y,z) = 3x^5y^4 + 6x^3y^2z - 2y^6z^2$

Polinomun mutlak derecesine gelince, ilk tek terimlisi 9. dereceden, polinomun ikinci terimi 6. dereceden ve son olarak polinomun üçüncü elemanı 8. derecedendir. Dolayısıyla polinomun mutlak derecesi sorun 9’dur, çünkü tek terimlilerin maksimum derecesidir.

$\text{Grado absoluto de } P(x,y,z) = 9$

Göreceli derece ise her bir değişkeni ayrı ayrı ifade eder ve söz konusu değişkenin maksimum üssünden oluşur. Böylece x değişkeninin maksimum derecesi 5, y değişkeninin göreceli derecesi 6 ve son olarak z harfine göre derecesi 2 olur.

$\text{Grado relativo de } x = 5$

$\text{Grado relativo de } y = 6$

$\text{Grado relativo de } z = 2$

Tek terimlilerin derecelerine göre polinom türleri

Bazı belirli polinomlar, terimlerinin derecesine göre sınıflandırılabilir:

Sıralı Polinom : Tek terimlileri en yüksek dereceden en düşüğe doğru yazılan bir polinom sıralanır.

$P(x) = x^4 + 4x^3+6x^2 +3$

Önceki polinom, tek terimlileri derecelerine göre azalan sırada sıralandığından sıralanmıştır.

Tam polinom : En yüksek dereceden tek terimliden bağımsız terime kadar tüm derecelerin tüm terimlerini içeren polinom.

$P(x) = x^5 + 3x^4-5x^3+2x^2 +x+9$

Mantıksal olarak herhangi bir tam polinomdaki terim sayısı, polinomun derecesi artı 1’e eşittir.

Eksik polinom : Daha yüksek dereceli monom ile bağımsız terim arasında belirli dereceden bir terimin eksik olduğu polinom.

$P(x) = x^5+4x^3-7x+3$

Homojen polinom : Bir polinomun tüm elemanları aynı dereceye sahipse homojendir. Örneğin, aşağıdaki polinom homojendir çünkü tüm monomları 7. derecedendir.

$P(x,y) = 6x^3y^4+2x^5y^2 -4x^6y$

Heterojen polinom : Bir polinomun terimlerinden en az biri, polinomu oluşturan diğer terimlerin herhangi birinden farklı bir dereceye sahipse, bu polinom heterojendir.

$P(x,y) = 4x^3+11x^5-6y^5$

Önceki alıştırmadaki polinom aynı dereceden iki monomiye sahiptir (11x ⁵ ve -6y ⁵ ), ancak 4x ³ farklı bir dereceye sahip olduğundan heterojen bir polinomdur.