Belirleyicilere göre bir matrisin sıralamasını hesaplama

Bu sayfada bunun ne olduğunu ve bir matrisin aralığının determinantlara göre nasıl hesaplanacağını göreceksiniz. Ayrıca bir matrisin kapsamını kolayca nasıl bulacağınızı öğrenmek için örnekler ve çözülmüş alıştırmalar bulacaksınız. Ayrıca bir matrisin aralık özelliklerini de göreceksiniz.

Bir matrisin rütbesi nedir?

Bir matrisin aralık tanımı şöyledir:

Bir matrisin derecesi, determinantı 0’dan farklı olan en büyük kare alt matrisin mertebesidir.

Bu sayfada, bir matrisin aralığını determinantlar yöntemiyle öğreneceğiz, ancak bir matrisin aralığı, daha yavaş ve daha karmaşık olmasına rağmen Gauss yöntemiyle de belirlenebilir.

Bir matrisin aralığının ne olduğunu öğrendikten sonra, matrisin aralığını determinantlarla nasıl bulacağımızı göreceğiz. Ancak bir matrisin boyutunu çözmek için öncelikle 3×3 determinantların nasıl hesaplanacağını bilmeniz gerektiğini unutmayın.

Bir matrisin kapsamı nasıl öğrenilir? Örnek:

  • Aşağıdaki 3×4 boyut matrisinin boyutunu hesaplayın:

\displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)

Her zaman, mertebenin en büyük determinantını çözerek matrisin maksimum rütbeye sahip olup olmadığını görmeye çalışarak başlayacağız. Ve eğer bu derecenin determinantı 0’a eşitse, 0’dan farklı bir değer bulana kadar daha düşük dereceli determinantları test etmeye devam edeceğiz.

Bu durumda 3×4 boyutlu bir matristir. Bu nedenle 4. dereceden herhangi bir determinant yapamadığımız için en fazla rütbe 3 olacaktır . Yani herhangi bir 3×3 alt matrisi alıyoruz ve determinantının 0 olup olmadığını görüyoruz. Örneğin ilk 3 sütunun determinantını şu şekilde çözüyoruz: Sarrus kuralı:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}

1, 2 ve 3. sütunların determinantı 0’dır. Şimdi başka bir determinantı, örneğin 1, 2 ve 4. sütunların determinantını denememiz gerekiyor:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}

Ayrıca bize 0 verdi. Bu nedenle, 0’dan başka bir tane olup olmadığını görmek için 3. dereceden determinantları test etmeye devam ediyoruz. Şimdi 1, 3 ve 4. sütunlardan oluşan determinantı test ediyoruz:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}

3. dereceden determinantlardan 2, 3 ve 4. sütunlardan oluşan determinantı deneyin:

\left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}

A matrisinin olası tüm 3×3 determinantlarını zaten denedik ve bunların hiçbiri 0’dan farklı olmadığından matrisin derecesi 3 değildir . Bu nedenle en fazla 2. sırada yer alacaktır.

\displaystyle rg(A) < 3

Şimdi matrisin 2. dereceden olup olmadığını göreceğiz. Bunu yapmak için determinantı 0’dan farklı olan 2. dereceden bir kare alt matris bulmalıyız. Sol üst köşedeki 2×2 alt matrisini deneyeceğiz:

\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & -1 & & & \\[-2ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{tabular} \right)

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}

Matris içerisinde 0’dan farklı, 2. dereceden bir determinant bulduk. Sonuç olarak, matris 2. sıradadır:

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Çözülmüş Matris Kapsam Sorunları

1. Egzersiz

Aşağıdaki 2×2 matrisin sıralamasını belirleyin:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix}

Önce tüm matrisin determinantını hesaplıyoruz:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}

0’dan farklı 2. dereceden bir determinant bulduk. Bu nedenle matris 2. derecedendir.

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Alıştırma 2

Aşağıdaki 2 × 2 boyutlu matrisin kapsamını bulun:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{pmatrix}

Öncelikle tüm matrisin determinantını çözüyoruz:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}

Mümkün olan tek 2×2 determinant 0 verir, dolayısıyla matrisin derecesi 2 değildir.

Ancak matrisin içinde 0 dışında 1×1 determinant vardır, örneğin:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}

Bu nedenle matris 1. sıradadır.

\displaystyle \bm{rg(A)=1}

Alıştırma 3

Aşağıdaki 3×3 kare matrisin kapsamı nedir?

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}

İlk olarak tüm matrisin determinantı Sarrus kuralıyla hesaplanır:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}

Mümkün olan tek 3×3 determinant 0 verir, dolayısıyla matrisin derecesi 3 değildir.

Ancak matris içerisinde 0 dışında 2. dereceden determinantlar da vardır, örneğin:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}

Bu nedenle matrisin derecesi 2’dir .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Alıştırma 4

Aşağıdaki 3. mertebeden matrisin rütbesini hesaplayın:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}

Öncelikle tüm matrisin determinantı Sarrus kuralıyla çözülür:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 = -31\bm{ \neq0}

Matrisin tamamının determinantı 0’dan farklı bir değer olarak değerlendirilir. Bu nedenle matrisin maksimum derecesi vardır, yani sıra 3’tür.

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Alıştırma 5

Aşağıdaki 3. mertebeden matrisin rütbesi nedir?

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}

İlk olarak tüm matrisin determinantı Sarrus kuralıyla hesaplanır:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}

Mümkün olan tek 3×3 determinant 0 verir, dolayısıyla matrisin derecesi 3 değildir.

Ancak matrisin içinde 0 dışında 2 × 2 determinant vardır, örneğin:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}

Matris bu nedenle rütbe 2’dir .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Alıştırma 6

Aşağıdaki 3×4 matrisin kapsamını bulun:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}

Matrisin derecesi 4 olamaz çünkü 4×4 determinant yapamayız. Öyleyse 3×3 determinantı hesaplayarak 3. sırada olup olmadığına bakalım:

\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}

İlk 3 sütunun determinantı 0 verir. Ancak son 3 sütunun determinantı 0’dan farklı bir değer verir:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3 \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}

Dolayısıyla, içeride determinantı 0’dan farklı olan 3. dereceden bir alt matris olduğundan, matrisin derecesi 3’tür .

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Egzersiz 7

Aşağıdaki 4×3 matrisin aralığını hesaplayın:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}

Herhangi bir 4×4 determinantı çözemediğimiz için matrisin derecesi 4 olamaz. Öyleyse mümkün olan tüm 3×3 determinantlarını yaparak 3. sırada olup olmadığını görelim:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}

Mümkün olan tüm 3×3 determinantları 0 verdiğinden matrisin de derecesi 3 değildir. Şimdi 2×2 determinantları deneyelim:

\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}

A matrisinin içinde determinantı 0’dan farklı olan 2. dereceden bir alt matris bulunduğundan, matrisin derecesi 2’dir .

\displaystyle \bm{rg(A)=2}

Egzersiz 8

Aşağıdaki 4 × 4 matrisin aralığını bulun:

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4\end{pmatrix}

Rank 4 olup olmadığını görmek için tüm matrisin determinantını çözmeliyiz.

Ve 4×4 determinantını çözmek için, önce sütundaki elemanların biri hariç hepsini sıfıra dönüştürmek için satırlarla işlemler yapmalısınız:

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}

Şimdi determinantı milletvekillerine göre hesaplıyoruz:

\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}

Şartları basitleştiriyoruz:

=\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}

= \text{Adj(1)}

1’in ekini hesaplıyoruz:

\displaystyle = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & -1 & -1\end{vmatrix}

Ve son olarak 3×3 determinantını Sarrus kuralı ve hesap makinesiyle hesaplıyoruz:

\displaystyle = (-1)^{4} \cdot \bigl[-2-10+10-10+2+10 \bigr]

\displaystyle = 1 \cdot \bigl[0 \bigr]

\displaystyle = \bm{0}

Tüm matrisin 4×4 determinantı 0 verir, dolayısıyla A matrisi 4. sırada olmayacaktır. Şimdi içeride 0 dışında 3×3 determinantı olup olmadığına bakalım:

\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -2+0-6-4+4-0=8 \bm{\neq 0}

Dolayısıyla A matrisi 3. sıradadır:

\displaystyle \bm{rg(A)=3}

Matris Aralığı Özellikleri

  • Sıfırlarla doldurulmuş bir satırı, bir sütunu veya 0 ile doldurulmuş bir satırı silersek aralık değişmez.
  • Bir matrisin aralığı, ister satır ister sütun olsun, iki paralel satırın sırasını değiştirirsek değişmez.
  • Bir matrisin rütbesi devrininkiyle aynıdır.
  • Bir satır veya sütunu 0’dan farklı bir sayıyla çarptığınızda matrisin sıralaması değişmez.
  • Kendisine paralel diğer çizgilerin doğrusal birleşimi olan bir çizgiyi (satır veya sütun) ortadan kaldırdığımızda renk tonunun aralığı değişmez.
  • Herhangi bir satıra (satır veya sütun) paralel başka satırları herhangi bir sayıyla çarptığımızda matrisin aralığı değişmez. Bu nedenle bir matrisin rütbesi Gauss yöntemiyle de hesaplanabilir.

Yorum bırakın

E-posta adresiniz yayınlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Scroll to Top