Bir fonksiyonun türevlenebilirliği

Eylül 17, 2023

Bu makalede, bir fonksiyonun türevlenebilirliğini, yani bir fonksiyonun türevlenebilir olup olmadığını nasıl inceleyeceğinizi öğreneceksiniz. Ayrıca bir fonksiyonun türevlenebilirliği ile sürekliliği arasındaki ilişkiyi de göreceğiz. Son olarak parçalı bir fonksiyonun türevlenebilirliğini inceleyeceğiz.

Bir fonksiyonun türevlenebilirliği ve sürekliliği

Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve türevlenebilirliği aşağıdaki şekilde ilişkilidir:

Bir fonksiyon bir noktada türevlenebilirse o noktada süreklidir.
Bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse o noktada türevlenebilir de değildir.

Ancak bu teoremin tersi yanlıştır: Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması onun o noktada her zaman türevlenebilir olduğu anlamına gelmez.

Ayrıca bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olup olmadığını grafiksel gösteriminden de görebilirsiniz:

Eğer düzgün bir nokta ise fonksiyon bu noktada türevlenebilirdir.
Açısal bir nokta ise fonksiyon süreklidir ancak bu noktada türevlenebilir değildir.

x=0’da yumuşatma noktası :
Bu aşamada sürekli ve türevlenebilir fonksiyon.

x=2’deki açısal nokta :
fonksiyon süreklidir ancak bu aşamada türevlenebilir değildir.

Parçalı bir fonksiyonun türevlenebilirliği

Bir fonksiyonun sürekliliği ile türevlenebilirliği arasındaki ilişkiyi öğrendikten sonra, parçalı tanımlanmış bir fonksiyonun türevlenebilirliğini nasıl inceleyeceğimizi göreceğiz.

Parçalı bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olup olmadığını o noktadaki yanal türevleri hesaplayarak anlayabilirsiniz:

Bir noktadaki yanal türevler eşit değilse fonksiyon o noktada türevlenebilir değildir:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

İndirilemez

$x_o$

Bir noktadaki yanal türevler çakışıyorsa fonksiyon o noktada türevlenebilirdir:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

Evet, farklılaştırılabilir

$x_o$

Not: Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilmesi için fonksiyonun o noktada sürekli olması gerekir. Bu nedenle yanal türevleri hesaplamadan önce fonksiyonun o noktada sürekli olduğundan emin olmamız gerekir. Bir noktada sürekliliğin nasıl çalışıldığını bilmiyorsanız aşağıdaki bağlantıdan nasıl yapıldığını görebilirsiniz:

➤ Bakınız: bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği

Şimdi bir noktada parçalı tanımlanan bir fonksiyonun türevinin nasıl hesaplanacağına dair bir örnek görelim:

x=2 noktasında parçalı olarak tanımlanan aşağıdaki fonksiyonun sürekliliğini ve türevlenebilirliğini inceleyin:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

İki parçanın fonksiyonları kendi aralıklarında süreklidir ancak fonksiyonun x=2 kritik noktasında sürekli olup olmadığına bakmak gerekir. Bunu yapmak için fonksiyonun yanal limitlerini şu noktada çözüyoruz:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

Kritik noktadaki yanal limitler bize aynı sonucu verdi, dolayısıyla fonksiyon x=2 noktasında süreklidir.

Fonksiyonun x=2’de sürekli olduğunu bildiğimizde, fonksiyonun o noktadaki türevlenebilirliğini inceleyeceğiz. Bunu yapmak için parça olarak tanımlanan fonksiyonun yanal türevlerini hesaplıyoruz :

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

Şimdi her bir yanal türevi kritik noktada değerlendireceğiz:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

İki yanal türev bize aynı sonucu verdi, dolayısıyla fonksiyon x=2’de türevlenebilir ve türevin değeri 6’dır:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

Öte yandan yanal türevler bize farklı bir sonuç vermiş olsaydı bu, fonksiyonun x=2’de türevlenemeyeceği anlamına gelirdi. Başka bir deyişle türev bu noktada mevcut olmayacaktır.

Son olarak, mutlak değer fonksiyonları parçalı olarak da tanımlanabildiğinden, bu prosedürün mutlak değer fonksiyonunun türevlenebilirliğini incelemek için de geçerli olduğunu unutmayın. Mutlak değer fonksiyonunun parçalara nasıl dönüştürüleceğini burada görebilirsiniz:

➤ Bakınız: mutlak değeri olan bir fonksiyonun parçalı olarak nasıl tanımlanacağı

Bir fonksiyonun türevlenebilirliğine ilişkin çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Aşağıdaki parçalı fonksiyonun sürekliliğini ve türevlenebilirliğini inceleyin:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^3-4x^2 + 5 & \text{si} & x<1 \\[2ex] -x^2+3x & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Çözümü görün

İki parçanın fonksiyonları süreklidir ancak fonksiyonun x=1 kritik noktasında sürekli olup olmadığına bakmalıyız. Bunu yapmak için fonksiyonun yanal limitlerini şu noktada çözüyoruz:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \bigl(x^3-4x^2 + 5\bigr)=1^3-4\cdot 1^2 + 5=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( -x^2+3x \bigr)=-1^2+3\cdot 1=2$

Kritik noktadaki iki yanal limit aynı sonucu verir, dolayısıyla fonksiyon x=1’de süreklidir.

Fonksiyonun kritik noktada sürekli olduğunu bildiğimizde, aynı noktada türevlenebilir olup olmadığını inceleyeceğiz. Bu nedenle yanal türevleri hesaplıyoruz:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-8x & \text{si} & x<1 \\[2ex] -2x+3 & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

Ve x=1’deki iki yanal türevi hesaplıyoruz;

$f'(1^-)=3\cdot1^2-8\cdot 1=3-8=-5$

$f'(1^+)=-2\cdot 1+3=-2+3 =1$

Yanal türevler x=1 noktasında çakışmadığından fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.

$f'(1^-) \neq f'(1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(1)$

Alıştırma 2

Bölümlerde tanımlanan aşağıdaki fonksiyonun türevlenebilirliğini ve sürekliliğini analiz edin:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{4x} & \text{si} & x\leq 1 \\[2ex] 2+\ln x & \text{si} & x> 1 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”226″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

Çözümü görün

İki bölümün fonksiyonları kendi aralıklarında süreklidir ancak fonksiyonun x=1 tanım değişiminin kritik noktasında sürekli olup olmadığının da bilinmesi gerekir. Dolayısıyla bu noktada fonksiyonun yanal sınırlarını tanımlıyoruz:

$\lim\limits_{x\to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^-} \sqrt{4x} = \sqrt{4\cdot 1} = \sqrt{4}=2$

$\lim\limits_{x\to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 1^+} \bigl( 2+\ln x \bigr) = 2 + \ln (1) = 2+0 =2$

Kritik noktadaki iki yanal limit aynı sonucu verir, dolayısıyla fonksiyon x=1’de süreklidir.

Şimdi yanal türevleri hesaplayarak fonksiyonun bu noktada türevlenebilir olup olmadığını inceliyoruz:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} \cfrac{4}{2\sqrt{4x}} & \text{si} & x<1 \\[4ex] \cfrac{1}{x} & \text{si} & x\geq 1 \end{array} \right.$

İki yanal türevi x=1’de hesaplıyoruz:

$f'(1^-)=\cfrac{4}{2\sqrt{4\cdot1}}=\cfrac{4}{2\sqrt{4}}=\cfrac{4}{2\cdot 2}=\cfrac{4}{4}=1$

$f'(1^+)=\cfrac{1}{1}=1$

Yanal türevler eşittir, dolayısıyla fonksiyon x=1’de türevlenebilir ve türevin değeri 1’dir.

$f'(1^-) = f'(1^+) = 1 \ \longrightarrow \ \bm{f'(1) = 1}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki parçalı fonksiyonun tüm tanım kümesinde sürekli ve türevlenebilir olup olmadığını belirleyin:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} x^2+2x+1 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2x+2 & \text{ si} & -1<div class="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__E6F9EF" role="button" tabindex="0" aria- expanded="false" data-otfm-spc="#E6F9EF" style="text-align:center"><div class="otfm-sp__title"> <strong>View solution</strong></div>< /div> The functions of all three parts are continuous, but we still need to check if the function is continuous at critical points. We therefore first check the continuity of the function at the point x=-1 by solving the lateral limits at this point:

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Missing { inserted.
leading text: ...="wp-block-otfm-box-spoiler-start otfm-sp__
Missing { inserted.
leading text: ...ox-spoiler-start otfm-sp__wrapper otfm-sp__
Missing { inserted.
leading text: ...m-sp__wrapper otfm-sp__box js-otfm-sp-box__
Missing { inserted.
leading text: ...fm-sp__box js-otfm-sp-box__closed otfm-sp__
You can't use `macro parameter character #' in math mode.
leading text: ...="0" aria-expanded="false" data-otfm-spc="#
Missing { inserted.
leading text: ...e="text-align:center"><div class="otfm-sp__
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...g></div></div> The functions of the three parts
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...are continuous, but we still need to see

\lim\limits_{x\to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x\to -1^-} \bigl(x^2+2x+1\bigr) = (-1)^ 2+2(-1)+1 =0 \lim\limits_{x\to -1^+} f(x) = \lim\limits_{x\to -1^+} \bigl(2x+2\bigr ) = 2(-1)+2=0

$Les deux limites latérales au point x=-1 donnent le même résultat, donc la fonction est continue en x=-1. Nous allons maintenant vérifier si la fonction est continue ou non au point x=2 :$

\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(2x+2\bigr) = 2\cdot 2+2=4+2= 6 \lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} \bigl( -x^2+8x\bigr) = -2^2+8\ cdot 2 = -4+16=12

$En revanche, les limites latérales au point x=2 ne donnent pas le même résultat, donc la fonction n'est pas continue en x=2. De plus, comme il n'est pas continu à ce stade, il ne sera pas non plus dérivable à x=2. Une fois que l'on a étudié la continuité de la fonction, on passe à la différentiabilité. On calcule donc les dérivées latérales :$

\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2x+2 & \text{si} & x\leq -1 \\[2ex] 2 & \text{si} & -1

Fonksiyonun x=2’de türevli olmadığını zaten biliyoruz, dolayısıyla fonksiyonun x=-1’de türevli olup olmadığını incelememiz gerekiyor. Bunu yapmak için şu noktadaki iki yanal türevi hesaplıyoruz:

$f'(-1^-)=2(-1)+2 = -2+2=0$

$f'(-1^+)=2$

Yanal türevler x=-1 noktasında çakışmaz, dolayısıyla fonksiyon bu noktada türevlenebilir değildir.

$f'(-1^-) \neq f'(-1^+) \ \longrightarrow \ \cancel{\exists} \ f'(-1)$

Alıştırma 4

Aşağıdaki parçalı fonksiyonun tanım kümesi boyunca sürekli ve türevlenebilir olmasını sağlayacak şekilde a ve b parametrelerinin değerini hesaplayın:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} + a & \text{si} & x< 3 \\[2ex](x-b)^2 & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

Çözümü görün

Bilinmeyenlerin değerleri ne olursa olsun fonksiyon, sürekliliğinin ve türevlenebilirliğinin kontrol edilmesi gereken x=3 noktası dışında tüm noktalarda sürekli ve türevlenebilirdir.

Fonksiyonun bir noktada sürekli olabilmesi için o noktadaki iki yan sınırın çakışması gerekir. Bu nedenle kritik noktada yanal sınırları değerlendiriyoruz:

$\lim\limits_{x\to 3^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^-} \bigl(2e^{x-3}+a\bigr) = 2e^{3-3}+a = 2 \cdot e^0+a =2\cdot 1 +a = 2+a$

$\lim\limits_{x\to 3^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 3^+} (x-b)^2 = (3-b)^2$

Dolayısıyla fonksiyonun sürekli olabilmesi için yanal sınırlardan elde edilen iki değerin eşit olması gerekir:

$2+a = (3-b)^2$

Şimdi x=3 noktasındaki türevlenebilirliği analiz edeceğiz. Yanal türevleri buluyoruz:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 2e^{x-3} & \text{si} & x< 3 \\[2ex]2(x-b) & \text{si} & x\geq 3 \end{array} \right.$

Ve kritik noktada iki yanal türevi hesaplıyoruz:

$f'(3^-)= 2e^{3-3} = 2e^0 = 2\cdot 1 = 2$

$f'(3^+)=2(3-b) = 6 - 2b$

Dolayısıyla fonksiyonun x=3’te türevlenebilmesi için yanal türevlerden elde edilen değerlerin eşit olması gerekir:

$2=6-2b$

Bu denklemi çözerek b’nin değerini bulabiliriz:

$2b=6-2$

$2b=4$

$b=\cfrac{4}{2} =\bm{2}$

Son olarak, b parametresinin değerini bildiğimizde, daha önce elde ettiğimiz denklemi yanal limitlerde çözerek a parametresinin değerini hesaplayabiliriz:

$2+a = (3-b)^2$

$2+a = (3-2)^2$

$2+a =1$

$a =1-2$

$\bm{a =-1}$

Bir fonksiyonun türevlenebilirliği ve sürekliliği

Parçalı bir fonksiyonun türevlenebilirliği

Bir fonksiyonun türevlenebilirliğine ilişkin çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Alıştırma 4

Yorum bırakın Yanıtı iptal et