Doğrunun parametrik denklemleri

Bu sayfada herhangi bir doğrunun parametrik denklemlerinin bir noktadan ve bir vektörden ya da iki noktadan nasıl hesaplanacağını bulacaksınız. Ayrıca parametrik denklemlerle bir doğru üzerinde farklı noktaların nasıl elde edileceğini de keşfedeceksiniz. Dahası, birçok örnek görebilecek ve çözümlü alıştırmalarla pratik yapabileceksiniz.

Bir doğrunun parametrik denklemleri nasıl bulunur?

Herhangi bir doğrunun parametrik denklemlerini belirlemek için sadece onun yön vektörüne ve doğruya ait bir noktaya ihtiyacınız vardır.

Evet

$\vv{\text{v}}$

çizginin yön vektörüdür ve

$P$

sağa ait bir nokta:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Doğrunun parametrik denklemlerinin formülü şöyledir:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Altın:

$x$

Ve

$y$

doğru üzerindeki herhangi bir noktanın Kartezyen koordinatlarıdır.
$P_1$

Ve

$P_2$

doğrunun parçası olan bilinen bir noktanın koordinatlarıdır.
$\text{v}_1$

Ve

$\text{v}_2$

doğrunun yön vektörünün bileşenleridir.
$t$

değeri çizgi üzerindeki her noktaya bağlı olan bir skalerdir (gerçek sayı).

Bu nedenle parametrik denklemler bir doğruyu analitik olarak ifade etmenin bir yoludur.

3 boyutlu çizginin parametrik denklemleri

Bunlar düzlemdeki doğrunun parametrik denklemleridir, yani 2 koordinatlı (R2’de) noktalar ve vektörlerle çalışırken. Ancak uzayda (R3’te) hesaplama yapıyor olsaydık, üçüncü Z bileşeni için ek bir denklem eklememiz gerekirdi:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

Öte yandan, parametrik denklemlerin dışında bir doğruyu matematiksel olarak tanımlamanın başka yollarının da olduğunu unutmayın: vektör denklemi, sürekli denklem, örtülü (veya genel) denklem, açık denklem ve nokta-eğim denklemi. Aline. Her birinin ne olduğunu web sitemizden kontrol edebilirsiniz.

Doğrunun parametrik denklemlerini belirleme örneği

Şimdi bir örnek kullanarak bir doğrunun parametrik denklemlerini nasıl bulacağımızı görelim:

noktadan geçen doğrunun parametrik denklemlerini yazınız.
$P$

ve sahip

$\vv{\text{v}}$

yol gösterici bir vektör olarak:

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

Doğrunun parametrik denklemlerini hesaplamak için formülünü uygulamamız gerekir:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

Bu nedenle, noktanın koordinatlarını ve yön vektörünü formülde değiştiririz:

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

Parametrik çizgi denklemlerinden puan alma

Doğrunun parametrik denklemlerini bulduktan sonra çizginin geçtiği noktaları hesaplamak çok kolaydır. Bir doğru üzerinde bir nokta belirlemek için parametreye bir değer vermelisiniz.

$\bm{t}$

Doğrunun parametrik denklemleri.

Örneğin, doğrunun aşağıdaki parametrik denklemleri göz önüne alındığında:

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

Doğruyu değiştirerek bir nokta elde edebiliriz

$t$

örneğin herhangi bir sayıya göre

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

Değişkeni değiştirirsek doğru üzerinde başka bir noktayı hesaplayabiliriz

$t$

örneğin farklı bir numarayla

$t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

Dolayısıyla doğru üzerinde sonsuz sayıda nokta elde edebiliriz çünkü değişken

$t$

sonsuz değer alabilir.

İki noktadan doğrunun parametrik denklemleri nasıl hesaplanır

Parametrik denklemlerle ilgili bir başka tipik sorun da bize doğruya ait 2 nokta vermeleri ve onlardan parametrik denklemleri hesaplamamız gerektiğidir. Bir örnekle sorunun nasıl çözüldüğünü görelim:

Aşağıdaki iki noktadan geçen doğrunun parametrik denklemlerini bulun:

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

Yukarıdaki bölümlerde gördüğümüz gibi bir doğrunun parametrik denklemlerini bulmak için onun yön vektörüne ve üzerinde bir noktaya ihtiyacımız var. Sağda zaten bir noktamız var ama onun yön vektörünü kaçırıyoruz. Bu yüzden önce doğrunun yön vektörünü, sonra da parametrik denklemleri hesaplamamız gerekiyor .

Doğrunun yön vektörünü bulmak için ifadede verilen iki noktanın tanımladığı vektörü hesaplamanız yeterlidir:

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

Doğrunun yön vektörünü de bildiğimizde, parametrik denklemlerini bulmak için aşağıdaki formülü uygulamamız yeterlidir:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

Bu durumda parametrik denklemleri tanımlamak için A noktasını aldık, ancak bunları bize ifadede verdikleri diğer noktayla yazmak da doğrudur:

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

Doğrunun parametrik denklemlerinin çözülmüş problemleri

1. Egzersiz

Yön vektörü olan doğrunun parametrik denklemini bulun

$\vv{\text{v}}$

ve noktadan geçer

$P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

Çözüme bakın

Doğrunun parametrik denklemlerini bulmak için formülü uygulamanız yeterlidir:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

Alıştırma 2

Parametrik denklemlerle tanımlanan aşağıdaki doğrunun iki farklı noktasını hesaplayın:

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

Çözüme bakın

Parametrik denklemlerle ifade edilen bir doğrudan puan elde etmek için parametreye değer verilmesi gerekir.

$t.$

Bu nedenle, ilk noktayı hesaplamak için bilinmeyeni yerine koyarız

$t$

örneğin tarafından

$t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

Ve verdiğimiz doğru üzerinde ikinci bir nokta bulmak için

$t$

örneğin değeri

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

Parametreye verdiğiniz değerlere bağlı olduğundan farklı puanlar almış olabilirsiniz.

$t.$

Ancak aynı prosedürü izlediyseniz her şey yolundadır.

Alıştırma 3

Aşağıdaki nokta göz önüne alındığında:

$P(3,-1)$

Bu noktanın aşağıdaki doğruya ait olup olmadığını belirleyin:

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

Çözüme bakın

Noktanın doğruya ait olup olmadığını kontrol etmek için, koordinatlarını doğrunun denklemlerinde yerine koymanız ve her denklemde parametrenin aynı değerini bulup bulmadığımıza bakmanız gerekir.

$t.$

Böyle bir durumda noktanın doğrunun bir parçası olduğu, aksi durumda ise doğrunun bu noktadan geçmediği anlamına gelecektir.

Böylece noktanın koordinatlarını doğrunun parametrik denklemlerinde değiştiririz:

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

Ve ortaya çıkan iki denklemi çözüyoruz:

X koordinatları

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

Y koordinatları

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

İki değer elde ettik

$t$

farklı, yani mesele çizgide değil.

Alıştırma 4

Aşağıdaki iki noktadan geçen doğrunun parametrik denklemlerini hesaplayınız:

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

Çözüme bakın

Bir doğrunun parametrik denklemlerini hesaplamak için onun yön vektörünü ve noktalarından birini bilmemiz gerekir. Bu durumda, doğru üzerinde zaten bir noktamız var ama onun yön vektörünü kaçırıyoruz. Bu nedenle önce doğrunun yön vektörünü, ardından parametrik denklemleri hesaplamamız gerekir.

Doğrunun yön vektörünü bulmak için ifadede verilen iki noktanın tanımladığı vektörü hesaplamanız yeterlidir:

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

Doğrunun yön vektörünü zaten bildiğimizde, parametrik denklemlerini bulmak için basitçe aşağıdaki formülü uygularız:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Bu durumda parametrik denklemleri tanımlamak için A noktasını seçtik, ancak bunları bize ifadede verdikleri diğer noktayla yazmak da geçerlidir:

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

Parametrik denklemlerin uygulamaları

Açıkçası, parametrik denklemlerin ana kullanımı, gördüğümüz gibi çizgileri tanımlamaktır. Ancak parametrik denklemler diğer geometrik eleman türlerini tanımlamak için de kullanılır.

Örneğin herhangi bir çevre parametrik denklemlerle ifade edilebilir. Evet

$r$

dairenin yarıçapıdır ve

$C(x_0,y_0)$

merkezinin koordinatları olup, bir dairenin parametrelendirilmesi şu şekildedir:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Benzer şekilde bir elips de yapılandırılabilir. Evet

$C(x_0,y_0)$

elipsin merkezinin koordinatlarıdır,

$a$

yatay yarıçapı ve

$b$

dikey yarıçapı, bir elipsin parametrik denklemleri şunlardır:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

Benzer şekilde, parabol ve hatta hiperbol gibi diğer eğrilerin parametrik gösterimi de yapılabilir. Ancak çok daha karmaşık oldukları için bunları bu makalede göstermiyoruz.

Son olarak, bir plan parametrik bir ifadeyle de tanımlanabilir. Aslında bir düzlemin parametrik denklemleri şunlardır:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$