Doğrunun örtülü veya genel (veya Kartezyen) denklemi

Bu sayfada, çizginin genel veya Kartezyen denklemi olarak da adlandırılan örtülü çizgi denkleminin nasıl hesaplandığını bulacaksınız. Ayrıca çeşitli örnekleri görebileceksiniz ve hatta adım adım çözülen düz çizgi egzersizleri ile pratik bile yapabilirsiniz.

Doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denklemi nedir?

Bir çizginin matematiksel tanımının, eğriler veya açılar olmadan aynı yönde temsil edilen ardışık noktalar kümesi olduğunu unutmayın.

Dolayısıyla, genel veya Kartezyen denklem olarak da bilinen doğrunun örtülü denklemi , herhangi bir doğruyu matematiksel olarak ifade etmenin bir yoludur. Bunu yapmak için ihtiyacınız olan tek şey doğrunun yön vektörü ve doğruya ait bir noktadır.

Doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denklemi için formül

Evet

$\vv{\text{v}}$

çizginin yön vektörüdür ve

$P$

sağa ait bir nokta:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

Doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denkleminin formülü şöyledir:

$Ax+By+C=0$

Altın:

$x$

Ve

$y$

doğru üzerindeki herhangi bir noktanın Kartezyen koordinatlarıdır.
katsayı
$A$

yön vektörünün ikinci bileşenidir:

$A=\text{v}_2}$
katsayı
$B$

yön vektörünün ilk bileşeni değişen işarettir:

$B=-\text{v}_1}$
katsayı
$C$

bilinen nokta değiştirilerek hesaplanır

$P$

çizginin denkleminde.

Uzaydaki çizginin genel veya Kartezyen örtülü denklemi (R3'te)

Öte yandan, örtülü (veya genel) denklemin dışında, bir doğruyu analitik olarak ifade etmenin başka yollarının da bulunduğunu unutmayın: vektör denklemi, parametrik denklemler, sürekli denklem, açık denklem ve nokta-eğim denklemi. Aline. Her birinin ne olduğunu web sitemizden kontrol edebilirsiniz.

Doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denklemini hesaplama örneği

Sadece formüle bakıldığında bu tür bir doğru denklemi bulmanın biraz zor olduğu görülebilir. Ancak bunun tam tersi olduğunu görebilmeniz için, bir örnek üzerinden doğrunun genel (veya örtülü) denklemini nasıl bulacağımızı göreceğiz:

Noktadan geçen doğrunun örtülü denklemini bulun
$P$

ve sahip

$\vv{\text{v}}$

yol gösterici bir vektör olarak:

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

Yukarıdaki bölümde gördüğümüz gibi doğrunun örtülü denkleminin formülü şöyledir:

$Ax+By+C=0$

Bu nedenle A, B ve C katsayılarını bulmalıyız. Aşağıdaki eşitlik her zaman doğrulandığından, A ve B bilinmeyenleri çizginin yön vektörünün koordinatlarından elde edilir:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Sonuç olarak, A katsayısı vektörün ikinci koordinatıdır ve B katsayısı vektör değişen işaretin ilk koordinatıdır:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

Bu nedenle doğrunun örtülü denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

Bu nedenle sadece C katsayısını bulmamız gerekiyor. Bunun için doğruya ait olduğunu bildiğimiz noktayı denklemde yerine koymalıyız:

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

Ve şimdi ortaya çıkan denklemi çözüyoruz:

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

Dolayısıyla doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denklemi şöyledir:

$\bm{3x-2y-17=0}$

Sürekli denklemden örtülü denklemi (genel veya Kartezyen) bulun

Az önce bir doğrunun genel denklemini bulmanın bir yolunu gördük. Ancak sürekli denkleminden başka bir yöntem daha vardır. Bunun nasıl yapıldığını bir örnekle görelim:

Sürekli denklemiyle tanımlanan aşağıdaki doğrunun genel (veya örtülü) denklemini hesaplayın:

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

Öncelikle kesirleri çapraz çarpıyoruz:

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

İkinci olarak, dağılma özelliğini kullanarak parantezleri çözüyoruz:

$6x-6=-2y-8$

Daha sonra tüm terimleri denklemin sol tarafına taşıyoruz:

$6x-6+2y+8=0$

Ve son olarak terimleri gruplandırıyoruz ve böylece doğrunun genel denklemini elde ediyoruz:

$\bm{6x+2y+2=0}$

Örtük veya genel (veya Kartezyen) denklemin çözülmüş problemleri

1. Egzersiz

noktasından geçen doğrunun genel denklemini yazınız.

$P$

ve sahip

$\vv{\text{v}}$

yol gösterici bir vektör olarak:

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

Çözüme bakın

Doğrunun genel denkleminin formülü:

$Ax+By+C=0$

Bu nedenle A, B ve C’yi bulmalıyız. Aşağıdaki eşitlik her zaman doğrulandığı için A ve B değişkenleri çizginin yön vektörünün koordinatlarından elde edilir:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

Sonuç olarak, A katsayısı vektörün ikinci koordinatıdır ve B katsayısı vektör değişen işaretin ilk koordinatıdır:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

Bu nedenle doğrunun örtülü denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

Bu nedenle sadece C katsayısını bulmamız gerekiyor. Bunun için doğruya ait olduğunu bildiğimiz noktayı doğrunun denkleminde yerine koyup ortaya çıkan denklemi çözmemiz gerekiyor:

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

Kısacası doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denklemi şöyledir:

$\bm{2x+y-8=0}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki doğrunun Kartezyen denklemini hesaplayın:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

Çözüme bakın

Denklem sürekli bir denklem olarak ifade edilir, dolayısıyla onun ima edilen denklemini bulmak için kesirleri geçmemiz ve tüm terimleri denklemin bir tarafına koymamız gerekir:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki doğru üzerinde bir nokta ve onun yön vektörünü belirleyin. Çizgi genel denklemiyle ifade edilir:

$-x-3y+6= 0$

Çözüme bakın

Çizginin yön vektörünün bileşenleri, çizginin genel denkleminin A ve B katsayılarından elde edilebilir: vektörün ilk bileşeni B katsayısının değişen işaretine karşılık gelir ve vektörün ikinci bileşeni şuna eşittir: A katsayısı. BU YÜZDEN:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

Öte yandan doğru üzerindeki bir noktayı hesaplamak için bir değişkene değer atamanız gerekir. Örneğin, biz yapıyoruz

$x=0$

ve ortaya çıkan denklemi çözüyoruz:

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

Yani çizginin anlamı şudur:

$\bm{P(0,2)}$

X değişkenine (veya Y değişkenine) hangi değeri verdiğinize bağlı olduğundan farklı bir puan almış olabilirsiniz, ancak aynı prosedürü izlediyseniz bu da doğrudur. Öte yandan doğrunun yön vektörünün hesaplananla aynı olması gerekir.

Alıştırma 4

Aşağıdaki iki noktadan geçen doğrunun örtülü denklemini bulun:

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

Çözüme bakın

Bu durumda doğrunun yön vektörünü bilmiyoruz, dolayısıyla önce yön vektörünü, sonra da doğrunun denklemini bulmamız gerekiyor.

Doğrunun yön vektörünü bulmak için verilen iki noktayla tanımlanan vektörü hesaplamanız yeterlidir:

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

Doğrunun yön vektörünü bildiğimizde, artık onun örtülü (veya genel veya Kartezyen) denklemini formülünden belirleyebiliriz:

$Ax+By+C=0$

A ve B bilinmeyenleri çizginin yön vektörünün koordinatlarından elde edilir, çünkü A katsayısı vektörün ikinci koordinatıdır ve B katsayısı vektörün değişen işaretinin ilk koordinatıdır:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

Bu nedenle doğrunun örtülü denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

Bu nedenle C katsayısını bulmak yeterlidir. Bunun için doğruya ait olduğunu bildiğimiz bir noktayı doğru denkleminde yerine koymalı ve ortaya çıkan denklemi çözmeliyiz:

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

Son olarak doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denklemi şöyledir:

$\bm{4x+6y-10=0}$

Alıştırma 5

Doğruya dik doğrunun örtülü denklemini bulun

$r$

ve bu noktada ne olur?

$P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

Çözüme bakın

İki dik doğrunun yön vektörleri birbirine diktir, dolayısıyla doğrunun yön vektörünü bulmamız gerekir.

$r$

daha sonra ona dik olan bir vektör.

Çizginin yön vektörünün bileşenleri

$r$

Doğrunun genel denkleminin A ve B katsayılarından elde edilebilirler: vektörün ilk bileşeni B katsayısının değişen işaretine karşılık gelir ve vektörün ikinci bileşeni A katsayısına eşittir.

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

Şimdi dik bir vektör bulmamız gerekiyor. Bunu yapmak için vektörün koordinatlarını girmeniz ve bunlardan birinin işaretini değiştirmeniz yeterlidir:

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

Bu nedenle bu, dik çizginin yön vektörü olacaktır.

$r.$

Doğrunun yön vektörünü bildiğimizde, artık onun örtülü (veya genel veya Kartezyen) denklemini formülünden belirleyebiliriz:

$Ax+By+C=0$

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$

Dolayısıyla doğrunun örtülü denklemi aşağıdaki gibi olacaktır:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=3} \ 2x+3y+C=0$

Bu nedenle C katsayısını bulmak yeterlidir. Bunun için doğruya ait olduğunu bildiğimiz bir noktayı doğru denkleminde yerine koymalı ve ortaya çıkan denklemi çözmeliyiz:

$P(2,2)$

$2x+3y+C=0\ \xrightarrow{x=2 \ ; \ y=2} \ 2\cdot 2+3\cdot 2+C=0$

$4+6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

Dolayısıyla doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denklemi şöyledir:

$\bm{2x+3y-10=0}$

Çizginin örtülü veya genel (veya kartezyen) denklemi

Doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denklemi nedir?

Doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denklemi için formül

Doğrunun örtülü, genel veya Kartezyen denklemini hesaplama örneği

Sürekli denklemden örtülü denklemi (genel veya Kartezyen) bulun

Örtük veya genel (veya Kartezyen) denklemin çözülmüş problemleri

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Alıştırma 4

Alıştırma 5

Yorum bırakın Yanıtı iptal et