▷ İki vektör arasındaki açı nasıl hesaplanır? (formül) ✅

Bu sayfada iki vektör arasındaki açının nasıl hesaplanacağını öğreneceksiniz. Ayrıca örnekleri görecek ve adım adım çözülen alıştırmalar ve problemlerle pratik yapabileceksiniz.

İki vektör arasındaki açının formülü

Nokta çarpımın tanımını hatırlarsak aşağıdaki denklem kullanılarak hesaplanabilir:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

Bu eşitlikten iki vektörün oluşturduğu açıyı doğrudan bulmamıza yardımcı olacak formülü elde edebiliriz:

İki vektörün oluşturduğu açının kosinüsü, iki vektör arasındaki nokta çarpımın iki vektörün modüllerinin çarpımına bölünmesine eşittir.

Yani iki vektörün oluşturduğu açıyı belirleme formülü şu şekildedir:

Bu nedenle iki vektörün oluşturduğu açıyı bulmak için bir vektörün büyüklüğünü nasıl hesaplayacağınızı bilmeniz önemlidir. Bu bağlantıda bir vektörün modülüne ilişkin formülü, örnekleri ve çözülmüş alıştırmaları bulacaksınız, dolayısıyla bu vektör işlemine henüz hakim olmadıysanız bir göz atmanızı öneririz.

Bu formül hem düzlem (R2’de) hem de uzay (R3’te) için çalışır. Yani bunu iki veya üç bileşenli vektörler için birbirinin yerine kullanabiliriz.

Ancak bazen vektörler arasındaki açı çıkarılabileceğinden bu formülün uygulanması gerekli değildir:

Aynı yöne sahip iki dik vektör arasındaki açı 0°’dir.
İki ortogonal (veya dik) vektör arasındaki açı 90°’dir.

İki vektör arasındaki açının nasıl bulunacağına dair örnek

Örnek olarak aşağıdaki iki vektörün oluşturduğu açıyı hesaplayacağız:

$\vv{\text{u}} = (4,-1) \qquad \vv{\text{v}} = (2,5)$

İlk önce her vektörün modülünü hesaplamalıyız:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{4^2+(-1)^2}= \sqrt{17}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{2^2+5^2}= \sqrt{29}$

Şimdi iki vektör arasındaki açının kosinüsünü hesaplamak için formülü kullanıyoruz:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot 2 + (-1)\cdot 5}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{29}} = \cfrac{3}{\sqrt{493}} = 0,14$

Ve son olarak hesap makinesini kullanarak kosinüsün tersini yaparak karşılık gelen açıyı buluyoruz:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,14) = \bm{81,95º}$

Bu nedenle iki vektör 81,95°’lik bir açı oluşturur.

Vektörler arasındaki açılarla ilgili çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Aşağıdaki iki vektör arasındaki açıyı hesaplayın:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,3) \qquad \vv{\text{v}} =(1,2)$

Çözümü görün

Öncelikle iki vektörün modülünü hesaplamamız gerekiyor:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{5^2+3^2}= \sqrt{34}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ 1^2+2^2}= \sqrt{5}$

Vektörlerin oluşturduğu açının kosinüsünü hesaplamak için formülü kullanırız:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 5\cdot 1 + 3\cdot 2}{\sqrt{34}\cdot \sqrt{5}} = \cfrac{11}{\sqrt{170}} = 0,84$

Son olarak hesap makinesiyle kosinüsün tersini yaparak karşılık gelen açıyı buluyoruz:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,84) = \bm{32,47º}$

Alıştırma 2

Aşağıdaki iki vektör arasındaki açıyı belirleyin:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-7) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,5)$

Çözümü görün

Öncelikle vektörlerin modüllerini bulmamız gerekiyor:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ (-2)^2+(-7)^2}= \sqrt{53}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

Vektörlerin sahip olduğu açının kosinüsünü elde etmek için formülü kullanırız:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ (-2)\cdot (-1) + (-7)\cdot 5}{\sqrt{53}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{-33}{\sqrt{1378}} = -0,89$

Ve son olarak hesap makinesiyle kosinüsün tersini yaparak karşılık gelen açıyı buluyoruz:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,89) = \bm{152,74º}$

Alıştırma 3

Değerini hesapla

$k$

aşağıdaki vektörler dik olacak şekilde:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(6,3) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,k)$

Çözümü görün

İki dik vektör 90°’lik bir açı oluşturur. Henüz:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Kesrin paydası denklemin sağ tarafının tamamını böldüğü için onu diğer tarafla çarpabiliriz:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Şimdi nokta çarpımını çözüyoruz:

$\displaystyle 0 =(6,3) \cdot (-4,k)$

$\displaystyle 0 =6 \cdot (-4) + 3\cdot k$

$\displaystyle 0 =-24 +3k$

Ve son olarak gizemi açıklığa kavuşturuyoruz:

$\displaystyle -3k =-24$

$\displaystyle k =\cfrac{-24}{-3}$

$\displaystyle \bm{k =8}$

Alıştırma 4

Sabitlerin sahip olması gereken değeri bulun

$a$

$b$

böylece aşağıdaki vektörler diktir ve ayrıca doğrudur

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10.$

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-6,a) \qquad \vv{\text{v}} =(b,3)$

Çözümü görün

Değerini bulmak için öncelikle modül koşulunu kullanacağız.

$a:$

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert =10$

$\sqrt{(-6)^2+a^2}=10$

$\sqrt{36+a^2}=10$

Karekökü çıkarmak için denklemin her iki tarafını da yükseltiriz:

$\left(\sqrt{36+a^2}\right)^2=10^2$

$36+a^2=100$

Ve gizemi açıklığa kavuşturuyoruz:

$a^2=100 -36$

$a^2=64$

$a=\sqrt{64}$

$\bm{a=8}$

Kıymetini bildiğimizde

$a$

değerini bulun

$b$

iki vektörün açısı formülünü uygulayarak, ifade bize bunların dik olması gerektiğini veya eşdeğer olduğunu söylediğinden, 90° oluşturmaları gerektiğini söyler.

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

Kesrin paydası denklemin sağ tarafının tamamını böldüğü için onu diğer tarafla çarpabiliriz:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

Şimdi nokta çarpımını çözmeye çalışalım:

$\displaystyle 0 =(-6,8) \cdot (b,3)$

$\displaystyle 0 =-6 \cdot b +8\cdot 3$

$\displaystyle 0 =-6b +24$

Ve son olarak gizemi açıklığa kavuşturuyoruz:

$\displaystyle 6b =24$

$\displaystyle b =\cfrac{24}{6}$

$\displaystyle \bm{b =4}$

Alıştırma 5

Açıları hesapla

$\alpha , \beta$

$\gamma$

aşağıdaki üçgenin kenarlarını oluşturanlar:

İki vektörün skaler çarpımının adım adım çözüldüğü alıştırmalar ve problemler

Çözümü görün

Üçgeni oluşturan köşeler aşağıdaki noktalardır:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

Üçgenin iç açılarını hesaplamak için her bir kenarının vektörlerini hesaplayabilir ve daha sonra nokta çarpım formülünü kullanarak oluşturdukları açıyı bulabiliriz.

Örneğin açıyı bulmak için

$\alpha$

Taraflarının vektörlerini hesaplıyoruz:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

Ve iki vektörün oluşturduğu açıyı skaler çarpım formülünü kullanarak buluyoruz:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

Şimdi açıyı belirlemek için aynı işlemi tekrarlıyoruz

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

Son olarak son açıyı bulmak için aynı işlemi tekrarlayabiliriz. Bununla birlikte, bir üçgendeki tüm açıların toplamı 180 dereceye kadar olmalıdır, bu nedenle:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

İki vektör arasındaki açı nasıl hesaplanır

İki vektör arasındaki açının formülü

İki vektör arasındaki açının nasıl bulunacağına dair örnek

Vektörler arasındaki açılarla ilgili çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Alıştırma 2

Alıştırma 3

Alıştırma 4

Alıştırma 5

Yorum bırakın Yanıtı iptal et