Ters matris nasıl hesaplanır -

Bu sayfada bunun ne olduğunu ve bir matrisin tersinin determinantlar yöntemi (veya ek matris) ve Gauss yöntemiyle nasıl hesaplanacağını öğreneceksiniz. Ayrıca ters matrisin tüm özelliklerini göreceksiniz ve ayrıca her yöntem için adım adım çözülmüş örnekler ve alıştırmalar bulacaksınız, böylece bunları tamamen anlayabilirsiniz. Son olarak, 2×2’lik bir matrisi hızlı bir şekilde tersine çevirmek için bir formülü ve hatta bu matris işleminin en büyük faydasını açıklıyoruz: bir doğrusal denklem sistemini çözme.

Bir matrisin tersi nedir?

Olmak

$A$

bir kare matris. Ters matrisi

$A$

yazılmış

$A^{-1}$

ve aşağıdakileri sağlayan da bu matristir:

$A \cdot A^{-1} = I$

$A^{-1}\cdot A = I$

Altın

$I$

Kimlik matrisidir.

Bir matrisi ne zaman tersine çevirebilirsin ve ne zaman yapamazsın?

Bir matrisin tersinirliğini belirlemenin en basit yolu onun determinantını kullanmaktır:

Söz konusu matrisin determinantının 0’dan farklı olması matrisin tersinir olduğu anlamına gelir. Bu durumda bunun düzenli bir matris olduğunu söyleriz. Ayrıca bu, matrisin maksimum değerde olduğu anlamına gelir.

Öte yandan matrisin determinantı 0’a eşitse matris ters çevrilemez. Ve bu durumda bunun tekil veya dejenere bir matris olduğunu söylüyoruz.

Temel olarak herhangi bir matrisi tersine çevirmenin iki yöntemi vardır: determinant yöntemi veya ek matris ve Gauss yöntemi. Aşağıda ilkinin açıklamasını bulacaksınız, ancak aynı zamanda Gauss yöntemiyle bir matrisin nasıl ters çevrileceğini de aşağıya danışabilirsiniz.

Determinant yöntemini kullanarak (veya bitişik matrisi kullanarak) bir matrisi ters çevirin

Bir matrisin tersini hesaplamak için,

$\displaystyle A^{-1}$

için aşağıdaki formül uygulanmalıdır:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Altın:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

matrisin determinantıdır

$A$
$\text{Adj}(A)$

ek matrisidir

$A$
katılımcı
$\bm{t}$

matris aktarımını belirtir, yani eklenen matrisin aktarımı gerekir.

Yorum: Bazı kitaplar biraz farklı bir ters matris formülü kullanır: önce ek matrisi hesaplayıp sonra transpoze etmek yerine, önce A matrisini transpoze eder ve sonra ek matrisini hesaplarlar. Gerçekte sıranın bir önemi yoktur çünkü sonuç tamamen aynıdır. Bunu kullanmayı tercih etmeniz durumunda, değiştirilmiş bir matrisi ters çevirmek için size formülü bırakıyoruz:

devriğin ek matrisi ile ters matris formülü

Daha sonra örnek olarak bir alıştırmayı çözerek bir matrisin tersini nasıl bulacağımızı göreceğiz:

Determinant yöntemini (veya ek matrisi) kullanarak ters matrisi hesaplama örneği:

Aşağıdaki matrisin tersini hesaplayın:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

Matrisin tersini belirlemek için aşağıdaki formülü uygulamamız gerekir:

Ancak matrisin determinantı sıfırsa bu, matrisin tersinir olmadığı anlamına gelir. Bu nedenle yapılacak ilk şey matrisin determinantını hesaplamak ve 0’dan farklı olup olmadığını kontrol etmektir:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -4- (-6) = 2$

Determinant 0 olmadığı için matris tersinirdir .

Bu nedenle, determinantın değeri formülde yerine konulursa matrisin tersi şöyle olacaktır:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Şimdi A’nın yardımcı matrisini hesaplamamız gerekiyor. Bunu yapmak için A matrisinin her bir elemanını onun yardımcısıyla değiştirmeliyiz.

Ekini hesaplamayı unutmayın

$a_{ij}$

yani satır öğesiyle ilgili

$i$

ve sütun

$j$

için aşağıdaki formül uygulanmalıdır:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

Tamamlayıcı minör nerede

$a_{ij}$

satırı ortadan kaldıran matrisin determinantıdır

$i$

ve sütun

$j$

Böylece, A matrisinin elemanlarının yardımcıları şunlardır:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) = \bm{-1}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

Yorum: 1×1 determinantını mutlak değerle karıştırmayın çünkü 1×1 determinantında sayı pozitife dönüştürülmez.

Temsilciler hesaplandıktan sonra, A’nın yardımcı matrisini bulmak için A’nın elemanlarını yardımcılarıyla değiştirin:

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}$

Yorum: belirli yerlerde ek matris, burada tanımladığımız ek matrisin devriğidir.

Bu nedenle, ekteki matrisi ters matris formülüne koyarız ve şu hale gelir:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix} ^{\bm{t}}$

katılımcı

$\bm{t}$

Bu bize matrisin transpoze edilmesi gerektiğini söyler. Ve bir matrisin devrikliğini yapmak için satırlarını sütunlara dönüştürmeniz gerekir, yani matrisin ilk satırı matrisin ilk sütunu olur ve ikinci satır da ikinci sütun olur:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] -3 & 4 \end{pmatrix}$

Ve son olarak matrisin her terimini şununla çarpıyoruz:

$\cfrac{1}{2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{2}{2} \\[1.1ex] \sfrac{-3}{2} & \sfrac{4}{2} \end{pmatrix}$

ters matrisi 2x2 determinantlarla çözen alıştırma

Determinantlar yöntemi (veya bitişik matris) ile ters matrisler üzerine çözülmüş alıştırmalar

1. Egzersiz

Aşağıdaki 2×2 boyut matrisini ek matris yöntemini kullanarak ters çevirin:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{pmatrix}$

Çözümü görün

Ters matris formülü şöyledir:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Önce matrisin determinantını hesaplıyoruz:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{vmatrix} = 7-6 = 1$

Determinant 0’dan farklı olduğundan matris ters çevrilebilir.

Şimdi A’nın birleşik matrisini hesaplayalım:

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}$

Matrisin determinantı ve eki hesaplandıktan sonra değerlerini formülde yerine koyarız:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Ekteki matrisi transpoze ediyoruz:

$\displaystyle A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

A’nın ters matrisi bu nedenle:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{1} \end{pmatrix}$

Alıştırma 2

Determinant yöntemini kullanarak aşağıdaki kare matrisi ters çevirin:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{pmatrix}$

Çözümü görün

Ters matris formülü şöyledir:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Önce matrisin determinantını hesaplıyoruz:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4\end{vmatrix} = -12+10 = -2$

Determinant 0’dan farklı olduğundan matris ters çevrilebilir.

Şimdi A’nın birleşik matrisini hesaplayalım:

$\text{Adjunto de -3} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 5\end{vmatrix} = -1 \cdot 5 = \bm{-5}$

$\text{Adjunto de 5} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}$

Matrisin determinantı ve eki bulunduktan sonra değerlerini formülde yerine koyarız:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Ekteki matrisi transpoze ediyoruz:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -5 & -3 \end{pmatrix}$

Her elemanı şununla çarpıyoruz:

$\cfrac{1}{-2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{4}{-2} & \cfrac{2}{-2} \\[3ex] \cfrac{-5}{-2} & \cfrac{-3}{-2} \end{pmatrix}$

A’nın ters matrisi bu nedenle:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{-1} \\[2ex] \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} & \cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}$

Alıştırma 3

Aşağıdaki 3×3 boyutlu matrisi ek matris yöntemini kullanarak ters çevirin:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3\end{pmatrix}$

Çözümü görün

Ters matris formülü şöyledir:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Önce matrisin determinantını Sarrus kuralıyla çözüyoruz:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3 \end{vmatrix} = -24+6-2+16-2+9 = 3$

Determinant 0’dan farklı olduğundan matris ters çevrilebilir.

Determinant çözüldükten sonra A’nın birleşik matrisini buluruz:

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4&1\\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-13) = \bm{-13}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&-3\end{vmatrix} = -1 \cdot (-5) = \bm{5}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1&4\\[1.1ex] 2&1 \end{vmatrix} = 1\cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2 \\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-7) = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 2&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 2&1\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2\\[1.1ex] 4&1\end{vmatrix} = 1 \cdot 11 = \bm{11}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 1&1\end{vmatrix} = -1 \cdot 4 = \bm{-4}$

$\text{Adjunto de -3} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 1&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 = \bm{5}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

Matrisin determinantını ve ekini hesapladıktan sonra değerlerini formülde yerine koyarız:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Ekteki matrisi transpoze ediyoruz:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 7 & 11 \\[1.1ex] 5 & -2 & -4 \\[1.1ex] -7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

Ve ters çevrilmiş A matrisi:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \sfrac{\bm{-13}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{11}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-2}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-4}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{-7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{4}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}}\end{pmatrix}$

Alıştırma 4

Aşağıdaki 3. derece matrisi ek matris yöntemini kullanarak ters çevirin:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1\end{pmatrix}$

Çözümü görün

Ters matris formülü şöyledir:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Önce matrisin determinantını hesaplamamız gerekiyor, çünkü determinant 0 ise matrisin tersi yok demektir.

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1 \end{vmatrix} = 12+30+8+9-64+5 = \bm{0}$

A’nın determinantı 0 olduğundan matris ters çevrilemez.

Alıştırma 5

Aşağıdaki 3 × 3 kare matrisi determinant matris yöntemiyle ters çevirin:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2\end{pmatrix}$

Çözümü görün

Ters matris formülü şöyledir:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

Öncelikle matrisin determinantını Sarrus kuralıyla çözüyoruz:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2+0-12-3-0+16 = 3$

Determinant 0’dan farklı olduğundan matris ters çevrilebilir.

Determinant çözüldükten sonra A’nın birleşik matrisini buluruz:

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-0) = \bm{2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 4} = (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (-4-0) = \bm{4}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -3} = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(4-(-1)\bigr) = \bm{5}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (8-6) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-3) = \bm{-1}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 0} = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} \bigl(-2-(-4)\bigr) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -1} = (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(0-(-3)\bigr) = \bm{3}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0-6) = \bm{6}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 2} = (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(1-(-8)\bigr) = \bm{9}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

Matrisin determinantını ve ekini hesapladıktan sonra değerlerini formülde yerine koyarız:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9\end{pmatrix}^{\bm{t}}$

Ekteki matrisi transpoze ediyoruz:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 & 6 \\[1.1ex] 5 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

Ve son olarak şunu çalıştırıyoruz:

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{2}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{3}{3} \\[1.1ex] \sfrac{4}{3} & \sfrac{-1}{3} & \sfrac{6}{3} \\[1.1ex] \sfrac{5}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{9}{3} \end{pmatrix}$

egzersiz, ters matrisin 3x3 ek matris yöntemiyle adım adım çözülmesi

Gauss yöntemini kullanarak bir matrisi ters çevirin:

Gauss yöntemiyle bir matrisin tersini hesaplamak için matrisin satırları üzerinde işlemler yapmanız gerekir (bunu daha sonra göreceğiz). Gauss yönteminin nasıl kullanılacağını görmeden önce matrislerin satırlarında yapılabilecek tüm işlemleri bilmeniz önemlidir:

Gauss yönteminde izin verilen çizgi dönüşümleri

Matrisin satırlarının sırasını değiştirin .

Örneğin bir matrisin 2. ve 3. satırlarının sırasını değiştirebiliriz:

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \end{array} \right)$

Bir satırdaki tüm terimleri 0’dan farklı bir sayıyla çarpın veya bölün .

Örneğin 1. satırı 4 ile çarpabilir ve 3. satırı 2’ye bölebiliriz:

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 2 & -4 & -2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{4 f_1} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -8 & 12 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right)$

Bir satırı, aynı satırın toplamı artı başka bir satırın bir sayıyla çarpılmasıyla değiştirin .

Örneğin, aşağıdaki matriste 3. satırı 1 ile çarparak 2. satıra ekliyoruz:

$\left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 2 & 4 & 1 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 1\cdot f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 3 & 2 & 4 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right)$

Gauss yöntemini kullanarak ters matrisi hesaplama örneği:

Bir matrisi tersine çevirmek için Gauss yönteminin nasıl uygulanacağını bir örnekle görelim:

Aşağıdaki matrisin tersini hesaplayın:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\[2ex] 0 & 2 & 1 \\[2ex] 1 & 5 & 4 \end{array} \right)$

Yapmamız gereken ilk şey A matrisi ile Kimlik matrisini tek bir matriste birleştirmektir. Soldaki A matrisi ve sağdaki Kimlik matrisi:

$\displaystyle \bigl( A \ \lvert \ I \bigr)$

ters matrisin 3x3 Gauss yöntemiyle adım adım çözülmesi egzersizi

Ters matrisi hesaplamak için soldaki matrisi birim matrise dönüştürmemiz gerekir. Bunu yapmak için de oraya ulaşana kadar satırlara dönüşümler uygulamamız gerekiyor.

Sütunlar halinde ilerleyeceğiz yani satırlar üzerinde işlemler yaparak önce birinci sütundaki sayıları, sonra ikinci sütundaki sayıları ve son olarak da üçüncü sütundaki sayıları dönüştüreceğiz.

Birinci sütundaki 1’ler ve 0’lar zaten uygundur çünkü birim matrisin bu konumlarında da bir 1 ve bir 0 vardır. Bu nedenle bu satırlara şu anda bir dönüşüm uygulamaya gerek yoktur.

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Bununla birlikte, birim matrisin ilk sütununun son elemanında 0 vardır ve artık 1’e sahibiz. Bu nedenle 1’i 0’a dönüştürmemiz gerekir. Bunu yapmak için satır 1’i – ile çarparak satır 3.1’e ekleriz:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \\ + & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ \hline & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

Yani eğer bu toplamı yaparsak aşağıdaki matrisi elde ederiz:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Böylece 1’i 0’a dönüştürmeyi başardık.

Şimdi sol matrisin ikinci sütununa geçelim. İlk öğe 0’dır ve bu iyidir çünkü birim matrisin aynı konumda 0’ı vardır. Ancak 2 yerine 1 olması gerektiği için ikinci satırı 2’ye bölüyoruz:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2/2}\\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Ayrıca ikinci sütunda da 5’i 0’a çevirmemiz gerekiyor. Peki, 5, ikinci satırdaki 1’den beş kat büyük olduğundan, 2. satırı -5 ile çarparak 3. satıra ekleyeceğiz:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \\ + & 0 & -5 & \sfrac{-5}{2} & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-5}{2} & 0 \\ \hline & 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} \vphantom{\Bigl(} & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -5f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Dolayısıyla bu işlemi gerçekleştirerek ikinci sütunun son elemanında 0 bulunan matrisi elde ederiz:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 5f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)$

Son olarak matrisin son sütununu sola dönüştüreceğiz ancak bu sefer alttan başlamamız gerekiyor. Bu nedenle dönüşümün gerekli olduğu

$\sfrac{1}{2}$

1’e. Bu nedenle son satırı 2 ile çarpıyoruz:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)\begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{2f_3} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Artık bunu dönüştürmeliyiz

$\sfrac{1}{2}$

son sütunun geri kalanı 0. Ancak bu sefer satırı 2 ile çarpamayız çünkü 1’i de 2’ye çevirmiş oluruz (kimlik matrisinin o konumda 1 olması durumunda). Bu nedenle, 3. satırı -2’ye bölerek 2. satıra ekleyeceğiz:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 0 & 1 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\ + & 0 & 0 &\vphantom{\Bigl(} -\sfrac{1}{2} & 1 & \sfrac{5}{2} & -1 \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0} & 1 & 3 \vphantom{\Bigl(} & -1 \end{array} \begin{array}{l}\vphantom{\Bigl(} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_3/(-2)}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

Yani bu işlemi yaparak dönüştürmeyi başarıyoruz.

$\sfrac{1}{2}$

0’da:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Son olarak, üçüncü sütunun ilk satırındaki 1’i 0’a dönüştürmemiz gerekiyor. Üçüncü satırda da aynı sütunda 1 var, dolayısıyla 3. satırı -1 ile çarparak 1. satıra ekleyeceğiz:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 0 & -1 & 2 & 5 & -2 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 3 & 5 & -2 \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\\ \phantom{hline} \end{array}$

Ve bu işlemi yaparak 1’i 0’a dönüştürmeyi başarıyoruz:

$\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 &0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 3 & 5 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

Soldaki matrisi başarıyla birim matrise dönüştürdüğümüzde, ters matrisi de biliyoruz. Çünkü ters matris, soldaki matrisi birim matrise dönüştürerek sağ tarafta elde ettiğimiz matristir . Bu nedenle matrisin tersi: